injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 So 29.01.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich hab schon oft in beweisen zB gelesen:
"wenn f injektiv ist, genau dann ist Kern(f) = [mm] \{0\}"
[/mm]
kann mir vieleicht einer sagen, warum dsa so ist? Dass die 0 immer in Kern(f) liegt ist mir klar, aber die injektivität leider nicht :(
Wäre echt nett, wenn mir da einer helfen kann.
Danke im Voraus.
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 So 29.01.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
du schriebst leider nicht, um was für eine abbildung es sich bei $f$ handelt. ich nehem nun einfach mal an, dass $f: V [mm] \longrightarrow [/mm] W$ eine lineare abbildung zwischen $K$-vektorräumen ist. es gilt dann, wie du geschrieben hast
$f$ injektiv [mm] $\Longleftrightarrow$ $\ker [/mm] f = [mm] \{0\}$ [/mm]
[mm] "$\Longrightarrow$": [/mm] klar.
[mm] "$\Longleftarrow$": [/mm] gilt $f(v) = f(w)$, so muss für injektivität gezeigt werden, dass auch $v = w$.
aus $f(v) = f(w)$ folgt ja durch addition und ausnutzung der linearitätseigenschaft von $f$: $f(v) = f(w) [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] f(v) - f(w) = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] f(v - w) = 0$. da nun aber [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \{0 \}$ [/mm] und $v-w$ durch $f$ auf $0$ abgebildet wird, muss $v - w = 0$ sein, also $v = w$.
grüsse
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 So 29.01.2006 | | Autor: | AriR |
ach so, das war ja nicht so schwer... danke :)
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