injektive/surjektveAbbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 05.01.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei V={g: R-->R, g stetig}. Für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 3 seien die Abbildungen fi: V-->V definiert durch fi (g) = [mm] \mu [/mm] i, wobei
[mm] \mu1 [/mm] (x) = g (2x)
[mm] \mu2 [/mm] (x) = g (x²)
[mm] \mu3 [/mm] (x) = (g(x))²
Für welche i ist fi a) injektiv, b) surjektiv? |
Bei einigen Schritten bin ich mir nicht sicher bzw. weiß ich nicht weiter:
zu i=1: (injektiv)
ist folgender Lösungsweg möglich? (f1(g))(x)=0=g(2x)=2g(x), daraus folgt g(x)=0, damit ker(f1)=0 und f1 injektiv. Woher weiß ich, ob g linear ist?
zu i=2: (injektiv)
(f2(g))(x)=0=g(x²) ist im allg. ungleich g(x) - warum? Wenn es so wäre, wäre ker(f2) ungleich null und damit f2 nicht injektiv.
zu i=3:(surjektiv)
hier weiß ich nicht weiter, wie ich Surjektivität nachprüfen soll. Ich weiß, f3 ist nicht injektiv, aber leider auch nicht linear, weshalb ich die Regel "aus injektiv folgt surjektiv bzw aus surjektiv folgt injektiv" nicht anwenden kann.
Über eine Hilfestellung würde ich sehr dankbar sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V={g: R-->R, g stetig}. Für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] 3 seien die
> Abbildungen [mm] f_i: [/mm] V-->V definiert durch [mm] f_i [/mm] (g) = [mm] \mu_{g,i}, [/mm]
> wobei
> [mm]\mu_{g,1}[/mm] (x) = g (2x)
> [mm]\mu_{g,2}[/mm] (x) = g (x²)
> [mm]\mu_{g,3}[/mm] (x) = (g(x))²
> Für welche i ist [mm] f_i [/mm] a) injektiv, b) surjektiv?
> Bei einigen Schritten bin ich mir nicht sicher bzw. weiß
> ich nicht weiter:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe den Eindruck, daß Du die Abbildungen [mm] f_i [/mm] noch nicht verstanden hast, ich habe auch eine kleine, hoffentlich verständnisstiftende Veränderung an den Bezeichnungen im Aufgabentext vorgenommen.
Definitionsmenge und Wertebereich von [mm] f_i [/mm] ist jeweils V, also der VR der stetigen Funktionen.
Also sind die Objekte, auf die [mm] f_i [/mm] angewendet wird, stetige Funktionen, und auch das Bild unter [mm] f_i [/mm] ist wieder eine stetige Funktion.
Wir schauen uns das mal für [mm] f_1 [/mm] an, und errechnen exemplarisch die Funktionswerte von [mm] h_1, h_2, h_3 \in [/mm] V mit
[mm] h_1(x):= x^2-1
[/mm]
[mm] h_2(x):= \sin [/mm] x
[mm] h_3(x)=e^x
[/mm]
[mm] f_1(h_1) [/mm] ist wieder eine stetige Funktion [mm] \mu_{h_1,1}, [/mm] und zwar ist nach Definition
[mm] [f_1(h_1)](x)=\mu_{h_1,1}(x)=h_1(2x)=(2x)^2-1
[/mm]
[mm] f_1(h_2) [/mm] ist wieder eine stetige Funktion, und zwar ist nach Definition
[mm] [f_1(h_2)](x)=\mu_{h_2,1}(x)=h_2(2x)=\sin [/mm] (2x)
[mm] f_1(h_3) [/mm] ist wieder eine stetige Funktion, und zwar ist nach Definition
[mm] [f_1(h_3)](x)=\mu_{h_3,1}(x)=h_3(2x)=e^{2x}
[/mm]
Und nun ist die Frage: ist [mm] f_1 [/mm] injektiv? Folgt aus [mm] f_1(g)=f_1(h), [/mm] daß g=h ist?
Und für die Surjektivität: findest Du zu jeder stetigen Funktion g [mm] \in [/mm] V eine Funktion g' [mm] \in [/mm] V so, daß [mm] f_1(g')=g [/mm] ?
Noch eine Sache: bevor Du für die Injektivität der [mm] f_i [/mm] mit dem Kern arbeitest, müßtest Du Dich erstmal überzeugen davon, daß bzw. ob die [mm] f_i [/mm] überhaupt lineare Funktionen sind.
Ich hoffe, ein bißchen Klarheit geschaffn zu haben.
Gruß v. Angela
> zu i=1: (injektiv)
> ist folgender Lösungsweg möglich?
> (f1(g))(x)=0=g(2x)=2g(x), daraus folgt g(x)=0, damit
> ker(f1)=0 und f1 injektiv. Woher weiß ich, ob g linear
> ist?
> zu i=2: (injektiv)
> (f2(g))(x)=0=g(x²) ist im allg. ungleich g(x) - warum?
> Wenn es so wäre, wäre ker(f2) ungleich null und damit f2
> nicht injektiv.
> zu i=3:(surjektiv)
> hier weiß ich nicht weiter, wie ich Surjektivität
> nachprüfen soll. Ich weiß, f3 ist nicht injektiv, aber
> leider auch nicht linear, weshalb ich die Regel "aus
> injektiv folgt surjektiv bzw aus surjektiv folgt injektiv"
> nicht anwenden kann.
> Über eine Hilfestellung würde ich sehr dankbar sein.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 05.01.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort und die Beispiele.
Allerdings habe ich leider die Aufgabe immer noch nicht ganz verstanden.
ok, ich habe nun verstanden, dass die Funktion [mm] f_{i} [/mm] jeder stetigen Funktion g wieder eine stetige Funktion (aus demselben VR) zuordnet. Das heißt ja dann, dass der Funktion
(i=1) h(x) die Funktion h(2x) zugeordnet wird,
(i=2) h(x) [mm] \mapsto [/mm] h(x²)
(i=3) h(x) [mm] \mapsto [/mm] (h(x))²
Zur Injektivität:
(i=1) ist [mm] f_{1}(g)=f_{1}(h) [/mm] bzw h(2x)=g(2x), dann folgt, dass h(x)=g(x) ist. Wie kann ich das begründen? Wäre es möglich hier eine Umkehrfunktion zu definieren, zb. [mm] f^{-1}: [/mm] h(x) [mm] \mapsto h(\bruch{1}{2}x)? [/mm] Diese Umkehrfunktion wäre eindeutig, weil die Multiplikation mit einem Faktor eine Äquivalenzumformung ist?
(i=2) hier folgt nicht aus h(x²)=g(x²), dass h(x)=g(x) ist, Gegenbeispiel:
h(x)=x h(x²)=x²
g(x)=|x| g(x²)=|x²|=x²=h(x²)
(i=3) hier folgt ebenfalls nicht aus h(x²)=g(x²), dass h(x)=g(x) ist, Gegenbeispiel:
h(x)=x (h(x))²=x²
g(x)= -x (g(x))²=(-x)²=x²=(h(x))²
Das würde doch als Beweis genügen?
Zur Surjektivität:
(i=1) hier habe ich ja eine Umkehrfunktion gefunden, also ist [mm] f_{1} [/mm] bijektiv und damit auch surjektiv. (?)
(i=2) Für h(x)=|x| gibt es keine Funktion h' mit [mm] f_{2}(h')=h, [/mm] also ist [mm] f_{2} [/mm] nicht surjektiv
(i=3) Für h(x)= -x gibt es keine Funktion h' in R mit [mm] f_{3}(h')=h, [/mm] also ist [mm] f_{3} [/mm] nicht surjektiv
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar und würde mich sehr freuen,
Grüße, moerni
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> Hallo,
> erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort und die
> Beispiele.
> Allerdings habe ich leider die Aufgabe immer noch nicht
> ganz verstanden.
> ok, ich habe nun verstanden, dass die Funktion [mm]f_{i}[/mm] jeder
> stetigen Funktion g wieder eine stetige Funktion (aus
> demselben VR) zuordnet.
Hallo,
> Das heißt ja dann, dass der
> Funktion
h die Funktion [mm] \mu_{h,i} [/mm] zugeordnet wird,
also [mm] f_i:V \to [/mm] V mit
[mm] h\mapsto \mu_{h,i}, [/mm]
wobei
für i=1
[mm] \mu_{h,i}:\IR \to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto [/mm] h(2x)
> (i=1) h(x) die Funktion h(2x) zugeordnet wird,
> (i=2) h(x) [mm]\mapsto[/mm] h(x²)
> (i=3) h(x) [mm]\mapsto[/mm] (h(x))²
Die anderen beiden entsprechend.
Du meinst natürlich das Richtige, aber es wird hier nigendwo dem Funktionswert von h an der Stelle x, als h(x), der Funktionswert von h an der Stelle 2x zugeordnet.
>
> Zur Injektivität:
>
> (i=1) ist [mm]f_{1}(g)=f_{1}(h)[/mm] bzw
nicht "beziehungsweise", sondern "daraus folgt". Und es folgt genaugenommen mit einem Zwischenschritt:
==> für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt [mm] f_{1}(g)(x)=f_{1}(h)(x)
[/mm]
==>für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
> h(2x)=g(2x),
>dann folgt,
> dass h(x)=g(x) ist. Wie kann ich das begründen?
Für jedes [mm] y\in \IR [/mm] ist auch [mm] \bruch{y}{2} \in \IR,
[/mm]
also ist für jedes [mm] y\in \IR [/mm] : h(2* [mm] \bruch{y}{2})=g(2* \bruch{y}{2}) [/mm] <==> h(y)=g(y)
==> h=g.
> Wäre es
> möglich hier eine Umkehrfunktion zu definieren, zb. [mm]f^{-1}:[/mm]
> h(x) [mm]\mapsto h(\bruch{1}{2}x)?[/mm] Diese Umkehrfunktion wäre
> eindeutig, weil die Multiplikation mit einem Faktor eine
> Äquivalenzumformung ist?
Am besten rechnest Du einfach vor, daß die von Dir definierte Funktion die Umkehrfunktion ist.
Wobei Du aber (wie oben) die Umkehrfunktion zu [mm] f_1 [/mm] etwas anders definieren mußt , denn die Umkehrfunktion bildet stetige Funktionen auf stetige Funktionen ab, und nicht etwa Elemente aus [mm] \IR [/mm] auf solche aus [mm] \IR. [/mm]
>
> (i=2) hier folgt nicht aus h(x²)=g(x²), dass h(x)=g(x) ist,
> Gegenbeispiel:
> h(x)=x h(x²)=x²
> g(x)=|x| g(x²)=|x²|=x²=h(x²)
Ja. Hier ist [mm] g\not=h, [/mm] jedoch [mm] f_2(g)=f_2(h)
[/mm]
>
> (i=3) hier folgt ebenfalls nicht aus (g(x))²=(h(x))², dass
> h(x)=g(x) ist, Gegenbeispiel:
> h(x)=x (h(x))²=x²
> g(x)= -x (g(x))²=(-x)²=x²=(h(x))²
> Das würde doch als Beweis genügen?
Ja. Auch hier ist [mm] g\not=h, [/mm] jedoch [mm] f_2(g)=f_2(h)
[/mm]
>
> Zur Surjektivität:
>
> (i=1) hier habe ich ja eine Umkehrfunktion gefunden, also
> ist [mm]f_{1}[/mm] bijektiv und damit auch surjektiv. (?)
Ja, Du mußt es noch vorrechnen.
>
> (i=2) Für h(x)=|x| gibt es keine Funktion h' mit
> [mm]f_{2}(h')=h,[/mm] also ist [mm]f_{2}[/mm] nicht surjektiv
Wieso?
[mm] h':\IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto \wurzel{|x|}
[/mm]
h' ist stetig, und es ist
[mm] f_2(h')=\mu_{2,h'} [/mm] mit
[mm] f_2(h')(x)=\mu_{2,h'}(x)=h'(x^2)=\wurzel{|x^2|}=|x| [/mm] für alle [mm] x\in \IR,
[/mm]
also ist [mm] f_2(h')=h.
[/mm]
Falls (!) die Funktion nicht surjektiv ist, taugt Dein h jedenfalls nicht als Gegenbeispiel.
>
> (i=3) Für h(x)= -x gibt es keine Funktion h' in R mit
> [mm]f_{3}(h')=h,[/mm] also ist [mm]f_{3}[/mm] nicht surjektiv
Rechne das vor, so überzeugt es nicht. (Es ist aber ein echtes Gegenbeispiel)
Gruß v. Angela
>
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar und würde mich sehr
> freuen,
> Grüße, moerni
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:22 Do 08.01.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei V:={h: R [mm] \to [/mm] R; h stetig}. Die Abbildung [mm] f_{3}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V sei definiert durch [mm] f_{3}(h)=\mu_{3}, [/mm] wobei [mm] \mu_{3}(x)=(h(x))² [/mm] |
Hallo,
ein bisschen klarer ist mir die Aufgabe jetzt schon geworden. Danke. Ich möchte nur noch zwei letzte Fragen loswerden:
Ich untersuche die obige Funktion [mm] f_{3} [/mm] auf Surjektivität:
[mm] f_{3} [/mm] ist nicht surjektiv, da z.B. die Funktion g mit
g: R [mm] \to [/mm] R
x [mm] \mapsto [/mm] -x
nicht Element von [mm] imf_{3} [/mm] ist (aber Element von V)
Bew.:
Es sei g': R [mm] \to [/mm] R
x [mm] \mapsto \wurzel{-x}
[/mm]
[mm] f_{3}(g'(x))=\mu_{3}(x)=(g'(x))²=(g'(x))*(g'(x))=g(x)
[/mm]
aber: g' ist für x > 0 nicht definiert, also g' ist nicht Element von V
also: [mm] f_{3} [/mm] ist nicht surjektiv.
Ist das so in Ordnung?
Was ich auch noch nicht verstanden habe, ist, wo ich die Klammern setzen soll:
[mm] (f_{3}(h))(x) [/mm] oder [mm] f_{3}(h(x)) [/mm] ? Wo liegt der Unterschied, was ist richtig?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen,
Grüße, moerni
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei V:={h: R [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R; h stetig}. Die Abbildung [mm]f_{3}:[/mm] V [mm]\to[/mm] V
> sei definiert durch [mm]f_{3}(h)=\mu_{3},[/mm] wobei
> [mm]\mu_{3}(x)=(h(x))²[/mm]
> Ich untersuche die obige Funktion [mm]f_{3}[/mm] auf Surjektivität:
> [mm]f_{3}[/mm] ist nicht surjektiv, da z.B. die Funktion g mit
> g: R [mm]\to[/mm] R
> x [mm]\mapsto[/mm] -x
> nicht Element von [mm]imf_{3}[/mm] ist (aber Element von V)
Hallo,
ja.
> Bew.:
> Es sei g': R [mm]\to[/mm] R
> x [mm]\mapsto \wurzel{-x}[/mm]
>
> [mm]f_{3}(g'(x))=\mu_{3}(x)=(g'(x))²=(g'(x))*(g'(x))=g(x)[/mm]
> aber: g' ist für x > 0 nicht definiert, also g' ist nicht
> Element von V
> also: [mm]f_{3}[/mm] ist nicht surjektiv.
>
> Ist das so in Ordnung?
Nein, den Beweis kannst Du so nicht führen, Du arbeitest ja mit eine Funktion g', die für [mm] \IR_{+} [/mm] gar nicht definiert ist.
Du mußt das anders machen:
nimm an, es gäbe eine Funktion [mm] g':\IR \to \IR, [/mm] für welche [mm] f_3(g')=g [/mm] ist,
d.h. [mm] (f_3(g'))(x)=g(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
==> ( [mm] g'(x))^2=g(x)= [/mm] -x
Da das für alle x gilt, gilt es auch für x=1.
Nun erkenne den Widerspruch.
> Was ich auch noch nicht verstanden habe, ist, wo ich die
> Klammern setzen soll:
> [mm](f_{3}(h))(x)[/mm] oder [mm]f_{3}(h(x))[/mm] ? Wo liegt der Unterschied,
> was ist richtig?
[mm] f_{3}(h(x)) [/mm] ist sinnlos: [mm] f_3 [/mm] ist eine Funktion, welche auf stetige Funktionen angewendet wird. h(x) ist jedoch (sofern h eine Funktion von [mm] \IR\to \IR [/mm] ist) eine reelle Zahl.
[mm] f_3 [/mm] ist aber nicht auf den reellen Zahlen definiert.
Schauen wir nun [mm] (f_{3}(h))(x) [/mm] an: [mm] f_3 [/mm] ist eine Funktion, welche reelle Funktionen auf reelle Funktionen abbildet. Es ist also [mm] f_{3}(h) [/mm] eine reelle Funktion, und [mm] (f_{3}(h))(x) [/mm] deren Funktionswert an der Stelle x. Also sinnvoll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Do 08.01.2009 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank für die Erklärungen, das hat mir sehr weitergeholfen!
Grüße, moerni
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