injektive Abbildungen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | X und Z seien Mengen mit Anz(X) = n < m =Anz(Z). Bestimmen Sie die
Anzahl aller injektiven Abbildungen X → Z. |
ich weis zwar die richtige Antwort: m!n!/(m-n)! , habe aber gar keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen kann. Brauche also ne richtige Idee.
Abbildung f: X → Z ist injektiv, wenn [mm] x_{1} \not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2}). [/mm] Aber wie kann ich die Anzahl aller Abbildungen berechnen weiss ich nicht, da brauche ich eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo motormons,
> X und Z seien Mengen mit Anz(X) = n < m =Anz(Z). Bestimmen
> Sie die
> Anzahl aller injektiven Abbildungen X → Z.
Nennen wir mal die Elemente der Menge X [mm]x_1, \ldots, x_n[/mm]. Für ein Bild von [mm] x_1 [/mm] hast Du m Auswahlmöglichkeiten. Da Du injektive Abbildungen betrachtest, muß das Bild von [mm]x_2[/mm] verschieden sein vom Bild von [mm]x_1[/mm]; also hast Du nur noch (m-1) Auswahlmöglichkeiten für's Bild von [mm]x_2[/mm]. Für ein Bild von [mm]x_n[/mm] verbleiben also nur noch (m+1-n) Auswahlmöglichkeiten.
> ich weis zwar die richtige Antwort: m!n!/(m-n)! , habe
> aber gar keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen kann.
IMHO kann das nicht die richtige Antwort sein; nimm beispielsweise eine 2-elementige Menge X und eine 3-elementige Menge Z. Demnach müßte es 2!*3!/1!=12 injektive Abbildungen von X auf Z geben. Schreib die möglichen Abbildungen doch mal auf  .
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:59 Fr 27.10.2006 | | Autor: | motormons |
alles klar, danke fuer schnelle Antwort. Das erste "richtige" ergebniss war doch falsch.
so, wie du sagst wir haben für x1 m möglichkeiten, für x2 m-1, usw
für xn m-n+1. also alle zusammen das ist [mm] \produkt_{i=m-n+1}^{m}i
[/mm]
dasgleiche habe ich rausbekommen: m!/(m-n)! = [mm] (m-n+1)\ldots(m-1)m
[/mm]
Also danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Fr 27.10.2006 | | Autor: | motormons |
Also, habe mir was üderlegt:
m,n [mm] \in \IN
[/mm]
Anz(Z)=m , m [mm] \ge [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] es existieren [mm] \vektor{m \\ n} [/mm] Teilmengen Y von Menge Z: Y [mm] \subset [/mm] Z , Anz(Y)=n
Weiter, Anz(X)=Anz(Y)=n [mm] \Rightarrow [/mm] es existieren n! bijektive Abbildungen
X -> Y.
insgesamt sind das n!m!/n!(m-n)! = [mm] \bruch{m!}{(m-n)!}
[/mm]
die Frage ist:
in Aufgabe steht, dass m>n sei. Die erste Aussage gilt für m [mm] \ge [/mm] n.
Ist das ein Problem, ode ist alles ok?
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