injektiv / surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum Definitionsbereich einer Abbildung, wenn es um Injtktivität und Surjektivität geht.
Also injektiv ist ja, dass Punkte aus dem Wertebereich höchstens einmal getroffen werden, aber nicht jeder getroffen werden muss, richtig?
Und surjektiv heißt doch, dass alle Punkte aus dem Wertebereich getroffen werden, und das kann auch mehrmals sein, richtig?
Aber was ist mit dem Definitionsbereich? Da wird in den Definitionen so gar eindeutiges zu gesagt. Mal steht für alle $x,y$ aus dem Definitionsbereich, aber manchmal steht auch nix da. Müssen aus dem Definitionsbereich alle Elemente abbilden, oder nicht, oder ist das egal, geht es bei injektiv, surjektiv, bijektiv nur um den Wertebereich?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 16.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ich habe eine Frage zum Definitionsbereich einer Abbildung,
> wenn es um Injtktivität und Surjektivität geht.
>
> Also injektiv ist ja, dass Punkte aus dem Wertebereich
> höchstens einmal getroffen werden, aber nicht jeder
> getroffen werden muss, richtig?
>
> Und surjektiv heißt doch, dass alle Punkte aus dem
> Wertebereich getroffen werden, und das kann auch mehrmals
> sein, richtig?
>
> Aber was ist mit dem Definitionsbereich? Da wird in den
> Definitionen so gar eindeutiges zu gesagt. Mal steht für
> alle [mm]x,y[/mm] aus dem Definitionsbereich, aber manchmal steht
> auch nix da. Müssen aus dem Definitionsbereich alle
> Elemente abbilden, oder nicht, oder ist das egal, geht es
> bei injektiv, surjektiv, bijektiv nur um den Wertebereich?
Der Definitionsbereich ist die Menge aller Punkte x, für die eine Abbildung definiert ist. Das heisst natürlich automatisch, dass jedes solche x auf einen Punkt im Wertebereich abgebildet wird. Völlig unabhängig davon, welche Eigenschaften (injektiv, surjektiv) die Abbildung sonst noch hat. Wenn also nichts über die Punkte dasteht, dann heisst das immer implizit, dass sie im Definitionsbereich liegen (müssen).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Also heißt das, wenn eine Abbildung injektiv/surjektiv/bijekitiv ist, dass sie das für ALLE Werte $x$ ist, die ich in die Abbildung $f$ einsetzen kann?
Und wie ist das, wenn ich eine Einschränkung des Definitionsbereiches betrachte, also weniger Werte $x$ in die Abbildung einsetzen kann? Kann das die Eigenschaften injektiv/surjektiv/bijekitiv verändern?
Also dass z.B. wenn ich eine Abbildung [mm] f:\IR\to\IR [/mm] habe mit irgendeiner Funktionsvorschrift. Und wenn ich da nun alle [mm] x\in\IR [/mm] einsetze, dann ist das Ding z.B. surjektiv. Das heißt doch dann, dass alle Werte von [mm] \IR [/mm] mindestens einmal angenommen werden, oder?
Und nun nehme ich $ [mm] f|_\IN: \IN\to\IR [/mm] $ und setze für $x$ nun nur noch natürliche Zahlen ein, kann es dann sein, dass nicht mehr alle Werte aus [mm] \IR [/mm] getroffen werden und das die Abbildung dann nicht mehr surjektiv ist?
Und kann es dann beispielsweise passieren, dass durch die Einschränkung Elemente, die vorher mehrfach getroffen wurden, nun nur noch einfach getroffen werden, und die Abbidung nun plötzlich injektiv ist?
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 So 16.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Auf die Gefahr hin, dass meine Überlegungen falsch sind, schreibe ich dies nur als Mitteilung :D
Ich habe beim lesen deines Beitrags an folgendes Beispiel gedacht:
f: [mm] \IR_{\ge 0} \to \IN
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] [x] ([] ist hier die Gauss-Klammer, 0 [mm] \in \IN)
[/mm]
Diese Funktion ist surjektiv, jedoch nicht injektiv. (Jeder Wert wird nicht nur einmal angenommen..)
Jetzt schränken wir den Definitionsbereich ein und erhalten:
[mm] f|_{N}: \IN \to \IN
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] [x]
Die Abbildung ist weiterhin surjektiv und zusätzlich jetzt auch noch injektiv.
Ich hoffe, keinen Fehler gemacht zu haben :D
Grüsse, Amaro
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> Hallo Rainer!
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> Also heißt das, wenn eine Abbildung
> injektiv/surjektiv/bijekitiv ist, dass sie das für ALLE
> Werte [mm]x[/mm] ist, die ich in die Abbildung [mm]f[/mm] einsetzen kann?
Hallo,
wenn Du hiermit meinst, daß man die Funktion mit ihrem Definitionsbereich betrachten muß für die Frage nach der Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, dann: ja.
>
> Und wie ist das, wenn ich eine Einschränkung des
> Definitionsbereiches betrachte, also weniger Werte [mm]x[/mm] in die
> Abbildung einsetzen kann? Kann das die Eigenschaften
> injektiv/surjektiv/bijekitiv verändern?
Ja.
>
> Also dass z.B. wenn ich eine Abbildung [mm]f:\IR\to\IR[/mm] habe mit
> irgendeiner Funktionsvorschrift. Und wenn ich da nun alle
> [mm]x\in\IR[/mm] einsetze, dann ist das Ding z.B. surjektiv. Das
> heißt doch dann, dass alle Werte von [mm]\IR[/mm] mindestens einmal
> angenommen werden, oder?
Ja.
>
> Und nun nehme ich [mm]f|_\IN: \IN\to\IR[/mm] und setze für [mm]x[/mm] nun
> nur noch natürliche Zahlen ein, kann es dann sein, dass
> nicht mehr alle Werte aus [mm]\IR[/mm] getroffen werden
Es können in diesem Falle überhaupt nicht mehr alle reellen Zahlen getroffen werden, da [mm] \IN [/mm] abzählbar und [mm] \IR [/mm] überabzählbar ist.
> und das die
> Abbildung dann nicht mehr surjektiv ist?
Genau.
>
> Und kann es dann beispielsweise passieren, dass durch die
> Einschränkung Elemente, die vorher mehrfach getroffen
> wurden, nun nur noch einfach getroffen werden, und die
> Abbidung nun plötzlich injektiv ist?
Ja.
Ich glaub', Du hast's begriffen.
Gruß v. Angela
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort.
> Ich glaub', Du hast's begriffen.
Juhuu, das freut mich aber 
Kurz noch eine Frage zur Injektivität.
Wenn ich Polynome auf Injektivität prüfe, und die Dinger mehr als eine Nullstelle haben (also verschiedene Nullstellen), reicht das schon als Gegenargument für Injektivität?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Angela!
>
> Danke für deine Antwort.
>
> > Ich glaub', Du hast's begriffen.
>
> Juhuu, das freut mich aber
>
> Kurz noch eine Frage zur Injektivität.
>
> Wenn ich Polynome auf Injektivität prüfe, und die Dinger
> mehr als eine Nullstelle haben (also verschiedene
> Nullstellen), reicht das schon als Gegenargument für
> Injektivität?
Ja!
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr alle!
Ich denke, ich hab das nun alles verstanden.
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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