inhomogenes DGL-System < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 18.01.2012 | | Autor: | raimcal |
| Aufgabe | Gegeben [mm] A:=\pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1&0&0&-1&0&0&0&-1\\0&1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0} [/mm] und [mm] h(x):=\pmat{ 0\\0\\0\\0\\0\\ln(x)\\0\\0 }
[/mm]
a) löse das homogene DGL-System y'=Ay
b) löse das inhomogene DGL-System y'=Ay+h(x), x>0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich würde gerne wissen was ich falsch mache.
Mein Vorgehen ist folgendermaßen:
1. Polynom
[mm] det(A-\lambda*E)=0, [/mm] daraus folgt das Polynom [mm] \lambda^2(\lambda^6+\lambda^4)
[/mm]
2. Nullstellen
6 mal [mm] \lambda=0, \lambda=i, \lambda=-i
[/mm]
3. Eigenvektoren [mm] (A-\lambdaE)v=0
[/mm]
Für [mm] i=\pmat{ 0\\0\\i\\1\\0\\0\\0\\0 }, [/mm] für [mm] -i=\pmat{ 0\\0\\i\\-1\\0\\0\\0\\0 }
[/mm]
Für die sechsfache Nullstelle 0 kann ich mir 3 Eigenvektoren überlegen. Die restlichen will ich über die Hauptvektoren bestimmen, [mm] (A-\lambdaE)h=v.
[/mm]
Das funktioniert jedoch nicht. Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler aber ich kann die Hauptvektoren nicht bestimmen.
4. FDS [mm] y(x)=c_{i}e^{/lambda_{i}x}v_{i}
[/mm]
hierraus folgt die homogene Lösung
5. partikuläre Lösung
berechne ich mit Variation der Konstanten
Ich weiss nicht wo mein Fehler liegt, im Prinzip ist mir der Rechenweg klar.
Gruß Thomas
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Hallo raimcal,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben [mm]A:=\pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1&0&0&-1&0&0&0&-1\\0&1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0}[/mm]
> und [mm]h(x):=\pmat{ 0\\0\\0\\0\\0\\ln(x)\\0\\0 }[/mm]
>
> a) löse das homogene DGL-System y'=Ay
> b) löse das inhomogene DGL-System y'=Ay+h(x), x>0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich würde gerne wissen was ich falsch mache.
> Mein Vorgehen ist folgendermaßen:
>
> 1. Polynom
> [mm]det(A-\lambda*E)=0,[/mm] daraus folgt das Polynom
> [mm]\lambda^2(\lambda^6+\lambda^4)[/mm]
>
Dieses Polynom stimmt nicht.
> 2. Nullstellen
> 6 mal [mm]\lambda=0, \lambda=i, \lambda=-i[/mm]
>
Die Nullstellen stimmen, aber ihre Vielfachheit nicht.
> 3. Eigenvektoren [mm](A-\lambdaE)v=0[/mm]
> Für [mm]i=\pmat{ 0\\0\\i\\1\\0\\0\\0\\0 },[/mm] für [mm]-i=\pmat{ 0\\0\\i\\-1\\0\\0\\0\\0 }[/mm]
>
> Für die sechsfache Nullstelle 0 kann ich mir 3
> Eigenvektoren überlegen. Die restlichen will ich über die
> Hauptvektoren bestimmen, [mm](A-\lambdaE)h=v.[/mm]
> Das funktioniert jedoch nicht. Vielleicht habe ich auch
> einen Denkfehler aber ich kann die Hauptvektoren nicht
> bestimmen.
>
> 4. FDS [mm]y(x)=c_{i}e^{/lambda_{i}x}v_{i}[/mm]
> hierraus folgt die homogene Lösung
>
> 5. partikuläre Lösung
> berechne ich mit Variation der Konstanten
>
>
> Ich weiss nicht wo mein Fehler liegt, im Prinzip ist mir
> der Rechenweg klar.
> Gruß Thomas
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 19.01.2012 | | Autor: | raimcal |
Hi
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mir ist dass jetzt schon öfter passiert dass ich die Vielfachheit der Nullstelle falsch angegeben habe.
Ich habe gelesen dass man über die Ableitungen erfahren kann, welche Vielfachheit eine Nullstelle besitzt. Gibt es noch einen schnelleren Weg der mir zeigt welche Vielfachheit eine Nullstelle besitzt?
Ich habe noch eine Frage bezüglich der Anzahl der Nullstellen.
Habe ich immer soviele Nullstellen wie der Grad des Polynoms ist?
Ich habe mal eine Aufgabe gerechnet in der ich nach mehrmaliger Polynomdivision folgendes Polynom hatte [mm] x^{2}+2. [/mm] Dieses Polynom besitzt keine weitere reele Nullstelle. Wieso muss ich jetzt komplexe Nullstellen verwenden?
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Polynom stimmt nicht, wenn es richtig wäre hättest du die vielfachheit richtig berechnet!
Gruss leduart
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