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inhomogene Lsg. bei DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mi 29.06.2011
Autor: BunDemOut

Aufgabe
Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

[mm] y'+(1+ln(x))*y=e^x(2+ln(x)) [/mm]

an

Hey,

so als allererstes mach ich mich an den homogenen Teil der Lösung, also betrachte ich die DGL:
y'+(1+ln(x))*y=0

[mm] \integral {\bruch{1}{y} dy}=-\integral [/mm] {1+ln(x) dx}
ln y=-x+x+x*ln(x)+c
[mm] y_h=e^{x*ln(x)+c}=A*e^{x*ln(x)} [/mm]

Den inhomogenen Teil bekomme ich durch:
[mm] y_{inh}=u(x)*y_{h} [/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{g(x)}{y_h}=\bruch{e^{x}*(2+ln(x)}{e^{x*ln(x)}}=2*e^{x-x*ln(x)}+\bruch{e^x*ln(x)}{e^{x*ln(x)}} [/mm]

Wie kann ich hinteren Bruch weiter vereinfachen?
Auch die Integration von [mm] 2*e^{x-x*ln(x)} [/mm] bereitet mir Kopfschmerzen...

Danke!

lg

        
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mi 29.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo BDO,


> Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>  
> [mm]y'+(1+ln(x))*y=e^x(2+ln(x))[/mm]
>  
> an
>  Hey,
>  
> so als allererstes mach ich mich an den homogenen Teil der
> Lösung, also betrachte ich die DGL:
>  y'+(1+ln(x))*y=0
>  
> [mm]\integral {\bruch{1}{y} dy}=-\integral[/mm] {1+ln(x) dx}
>  ln y=-x+x+x*ln(x)+c

Hier stimmt was mit den Klammern nicht, richti rechterhand:

[mm]-(x+x\ln(x)-x+c)=-x\ln(x)+c_1[/mm]

>  [mm]y_h=e^{x*ln(x)+c}=A*e^{x*ln(x)}[/mm]

Dann entsprechend [mm]y_h=A\cdot{}e^{-x\ln(x)}[/mm]

>  
> Den inhomogenen Teil bekomme ich durch:
>  [mm]y_{inh}=u(x)*y_{h}[/mm]

Hää?

Variation der Konstanten, mache [mm]A[/mm] von x abh.

[mm]y_{inh}(x)=A(x)\cdot{}e^{-x\ln(x)}[/mm]

Damit [mm]y'=A'(x)e^{-x\ln(x)}-A(x)e^{-x\ln(x)}(\ln(x)+1)[/mm]

Vergleich mit der Ausgangsdgl.

[mm]y'=-(1+\ln(x))A(x)e^{-x\ln(x)}+e^x(2+\ln(x))[/mm]

Bleibt: [mm]A'(x)e^{-x\ln(x)}=e^x(2+\ln(x))[/mm]

Daraus bestimmt [mm]A(x)[/mm] für eine spezielle Lösung der inhom. Dgl.

Dann ist die Gesamtlösung: [mm]y=y_{hom}+y_{inh}[/mm]

>  
> [mm]u'(x)=\bruch{g(x)}{y_h}=\bruch{e^{x}*(2+ln(x)}{e^{x*ln(x)}}=2*e^{x-x*ln(x)}+\bruch{e^x*ln(x)}{e^{x*ln(x)}}[/mm]
>  
> Wie kann ich hinteren Bruch weiter vereinfachen?
>  Auch die Integration von [mm]2*e^{x-x*ln(x)}[/mm] bereitet mir
> Kopfschmerzen...

Ja, ich habe gerade mal Maple befragt, der spuckt leider keine geschlossene Darstellung aus, lediglich eine Darstellung mit einem Integral.

Das scheint also nicht mit Elementarfunktionen darstellbar zu sein ...

>  
> Danke!
>  
> lg

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mi 29.06.2011
Autor: BunDemOut

Ah, jetzt hab ich das mit der Variation der Konstanten endlich verstanden...
Mhhh... ist das nicht etwas "strange" für ne Prüfungsaufgabe, dass man die Lösung nicht geschlossen darstellen kann?

lg

Bezug
                        
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mi 29.06.2011
Autor: MathePower

Hallo BunDemOut,

> Ah, jetzt hab ich das mit der Variation der Konstanten
> endlich verstanden...
> Mhhh... ist das nicht etwas "strange" für ne
> Prüfungsaufgabe, dass man die Lösung nicht geschlossen
> darstellen kann?


Mit den angebrachten Korrekturen meines Vorredners
ist die Lösung geschlossen darstellbar.


>  
> lg


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Mi 29.06.2011
Autor: BunDemOut

Ok, dachte schachuzipus bezieht sich auf die berichtigte Version.
Vielen Dank.

Bezug
                                        
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mi 29.06.2011
Autor: schachuzipus

Hoppa!


> Ok, dachte schachuzipus bezieht sich auf die berichtigte
> Version.

Das hatte ich auch, habe mich nur blöderweise vertippt, als ich die zu integrierende Funktion eingegeben habe ...

Wenn man das mal aufschreibt und hinguckt [lupe], so sieht man direkt eine passende Substitution ...

Da war ich zu blind - [sorry]

>  Vielen Dank.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
inhomogene Lsg. bei DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 Mi 29.06.2011
Autor: BunDemOut

Macht doch nix! :D
Jop, nämlich u=x+ln(x)... :)  

lg

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