inhomogene Diff.gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha,\beta [/mm] : [mm] \IR\to\IR [/mm] stetige Funktionen mit [mm] \limes_{t\to\infty} \beta(t)=0 [/mm] und [mm] \sup_{t\in \IR} \alpha(t)<0.
[/mm]
Zeigen Sie: Jede Lösung [mm] y:[0,\infty)\to \IR [/mm] der Differentialgleichung [mm] y'=\alpha(t)y+ \beta(t) [/mm] hat die Eigenschaft [mm] \limes_{t\to\infty} [/mm] y(t)=0. |
Also meine Überlegungen sehen bis jetzt so aus:
Es handelt sich um eine inhomogene Differentialgleichung.
Für die allgemeine Lösung einer solchen inhomogenen Differentialgleichung gilt doch:
[mm] y(t)=(\integral \beta(t)\cdot e^{-A(t)}+c)\cdot e^{A(t)}, [/mm] wobei [mm] A(t):=\integral \alpha(t)
[/mm]
Vielleicht gilt dann ja:
[mm] \limes_{t\to\infty} y(t)=\limes_{t\to\infty}(\integral \beta(t)\cdot e^{-A(t)}+c)\cdot e^{A(t)})=0 [/mm] ?
Meine Begründung hierfür wäre: Lässt man das t, das man bei y einsetzt gegen Unendlich laufen, so geht [mm] \beta(t) [/mm] doch gegen 0, also fällt der erste Summand in der Klammer schonmal weg. Außerdem geht dann A(t) gegen minus Unendlich und deswegen [mm] e^{A(t)} [/mm] gegen 0. Also erhält man insgesamt 0.
Ich bitte um Hilfe. Denn, so wie ich mich kenne, habe ich wieder irgendwas angenommen, das man so nicht annehmen darf...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi dennis,
du musst ein bisschen sorgfältiger mit deinen Integrations- bzw. Funktionsvariablen umgehen.
>
> Also meine Überlegungen sehen bis jetzt so aus:
> Es handelt sich um eine inhomogene Differentialgleichung.
> Für die allgemeine Lösung einer solchen inhomogenen
> Differentialgleichung gilt doch:
>
> [mm]y(t)=(\integral \beta(t)\cdot e^{-A(t)}+c)\cdot e^{A(t)},[/mm]
du meinst wohl:
[mm] y(t)=(\integral_{t_0}^{t} \beta(x)\cdot e^{-A(x)}dx+c)\cdot e^{A(t)}
[/mm]
> wobei [mm]A(t):=\integral \alpha(t)[/mm]
Also das muss jawohl [mm] A(t):=\integral_{t_0}^{t} \alpha(x)dx [/mm] heissen.
>
> Vielleicht gilt dann ja:
>
> [mm]\limes_{t\to\infty} y(t)=\limes_{t\to\infty}(\integral \beta(t)\cdot e^{-A(t)}+c)\cdot e^{A(t)})=0[/mm]
> ?
>
> Meine Begründung hierfür wäre: Lässt man das t, das man
> bei y einsetzt gegen Unendlich laufen, so geht [mm]\beta(t)[/mm]
> doch gegen 0, also fällt der erste Summand in der Klammer
> schonmal weg. Außerdem geht dann A(t) gegen minus
> Unendlich und deswegen [mm]e^{A(t)}[/mm] gegen 0. Also erhält man
> insgesamt 0.
>
>
> Ich bitte um Hilfe. Denn, so wie ich mich kenne, habe ich
> wieder irgendwas angenommen, das man so nicht annehmen
> darf...
Eija, erst mal sorfältig hinschreiben, dann nochmal überlegen.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Woher weiß man, dass die untere Integralgrenze [mm] t_0 [/mm] ist?
Das war nämlich auch ein Problem von mir, oben steht t, das ist mir klar, aber wieso steht unten [mm] t_0 [/mm] denn es ist ja nicht von einem Anfangswertproblem die Rede hier.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Walde |
Die untere Grenze ist wenn kein Anfangswert gegeben ist (innerhalb eines Lösungsintervalls) beliebig.
Falls eine Anfansbedingung vorgegeben wird [mm] y(t_0)=y_0, [/mm] hast du dann ein konkretes [mm] t_0 [/mm] und musst dann dein c so bestimmen, dass die Anfangsbed. erfüllt ist. Wenn du in die Lösung mal [mm] t_0 [/mm] einsetzt, siehst du, dass [mm] y(t_0)=c [/mm] ist.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke!
Aber ich komme mit der Aufgabe an sich trotzdem nicht weiter, aber wenigstens stimmen jetzt die Integralgrenzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Dennis,
ich hab ne Idee wie es gehen könnte. Mach mit:
1.überleg erstmal was [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}A(t) [/mm] ist. Was heisst das dann für [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}e^{A(t)}? [/mm] (Was für [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}e^{-A(t)})
[/mm]
2. Betrachte eine Fallunterscheidung für den Fall, dass
[mm] a)\limes_{t\to\infty}(\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c)=k\in\IR, [/mm] also das Integral konvergiert.
[mm] b)\limes_{t\to\infty}(\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c)=\pm\infty, [/mm] es nicht konvergiert.
Was folgt im Fall a) für [mm] \limes_{t\to\infty}y(t)?
[/mm]
Was folgt im Fall b) für [mm] y(t)=\bruch{\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c}{e^{-A(t)}} [/mm] (Hinweis: Regel von l'Hospital.)
Lg walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hi Dennis,
>
> ich hab ne Idee wie es gehen könnte. Mach mit:
>
> 1.überleg erstmal was [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}A(t)[/mm] ist.
> Was heisst das dann für
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}e^{A(t)}?[/mm] (Was für
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}e^{-A(t)})[/mm]
A(t) konvergiert gegen [mm] -\infty, [/mm] d.h. [mm] e^{A(t)}\to [/mm] 0, [mm] e^{-A(t)}\to \infty.
[/mm]
>
> 2. Betrachte eine Fallunterscheidung für den Fall, dass
> [mm]a)\limes_{t\to\infty}(\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c)=k\in\IR,[/mm]
> also das Integral konvergiert.
>
> [mm]b)\limes_{t\to\infty}(\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c)=\pm\infty,[/mm]
> es nicht konvergiert.
>
> Was folgt im Fall a) für [mm]\limes_{t\to\infty}y(t)?[/mm]
>
>
> Was folgt im Fall b) für
> [mm]y(t)=\bruch{\integral_{t_0}^{t}\beta(x)e^{-A(x)}+c}{e^{-A(t)}}[/mm]
> (Hinweis: Regel von l'Hospital.)
>
Bei 2. Weiß ich keine Antwort.
Ich würde meinen, man muss jetzt noch irgendwo verwenden, dass die Funktion beta gegen 0 konvergiert für t gegen unendlich.
> Lg walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
na eins nach dem andern. Man weiss erstmal nicht, ob das Integral konvergiert. Nimm in a) an, dass es konvergiert. Was folgt dann aus den Grenzwertsätzen für das Produkt aus der Klammer und [mm] e^{A(t)}?
[/mm]
Falls es nicht konvergiert (Fall b)), sondern gegen plus oder minus unendlich geht, was folgt dann für den Zähler bzw. Nenner des von mir hingeschriebenen Quotienten? Man kann dan weiter machen mit dem Satz von l'Hospital. Kennst du den?
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich verstehe nicht, wo der Unterschied ist:
In beiden Fällen konvergiert doch das [mm] e^{A(t)} [/mm] gegen 0 und also kommt im Ganzen Null raus.
So verstehe ich das... und ich weiß nicht, worauf Du hinaus willst, sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Walde |
Falls für eine Funktion [mm] f(x)\to [/mm] 0 und eine Funktion [mm] g(x)\to\infty [/mm] (für [mm] x\to\infty) [/mm] gilt, gilt nicht automatisch [mm] $f(x)*g(x)\to [/mm] 0$ Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=e^{-x} [/mm]
[mm] g(x)=e^{2x}
[/mm]
Hierbei hilft aber manchmal der Satz v l'Hospital.
LG walde
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:19 Sa 26.02.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Ich denke jetzt auch schon zu lange darüber nach.
Die Lösung soll ganz einfach sein, deswegen glaube ich nicht, dass man groß mit Fallunterscheidung und so hantieren muss.
Aber ich danke Dir für Deine Geduld und Deine Idee, mit der es sicherlich auch geht - für die ich aber anscheinend zu begriffsstutzig bin.
Kann man es nicht auch einfach irgendwie abschätzen?
Naja, ich lass es wohl mal sein. |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 28.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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