inhomogene Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 25.11.2007 | | Autor: | Reute |
| Aufgabe | Also habe die Aufgabe folgende dgl zu lösen:
[mm] A:=\pmat{ 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2\\3 & -6 & -4}
[/mm]
[mm] b(t):=\pmat{e^{t}\\e^{2t}\\e^{3t}}
[/mm]
mit x'(t)=Ax(t)+b(t) |
Hi also ich habe da folgendes Problem:
Zuerset habe ich die homogene Lösung bestimmt.
mittels char. polynom kommt raus Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] einfach
und [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] doppelt
nun hab ich die Eigenvektoren bestimmt da kommt dann am ende folgente lösung heraus für das homogene system
[mm] x=c_{1}\pmat{1\\ -\bruch{1}{3} \\1}e^{t}+c_{2}\pmat{2\\ 1 \\0}e^{2t}+ c_{3}\pmat{2\\ 0 \\1}e^{2t}
[/mm]
welche linear unabhängig sind, jetzt verstehe ich einfach nicht wie man das inhomogene system ausrechnet... kann es mir vielleicht jemadn mal vorrechnen wie ich das machen muss,
anscheinend muss man die daraus resultierende fundamelntalsystem invertieren dann mal dem inhomogenen vektor, dann integrieren und dann mal fundamentalsystem??
ist das so richtig oder gibt es da noch einen einfacheren weg...
danke für eure hilfe
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Hallo Reute,
so wie du es beschreibst, ist es richtig. Allgemein gehst du jetzt vor wie bei der Variation der Konstanten:
1. Invertiere deine homogene Fundamentalmatrix
2. Bestimme c(x), indem du das Integral von [mm] Y_{H}^{-1}*b(x) [/mm] bildest.
3. Eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems ergibt sich dann zu [mm] y_{0} [/mm] = [mm] Y_{H} [/mm] * c(x)
4. Die allgemeine Lösung dann zu: y(x) = [mm] Y_{H}*d [/mm] + [mm] y_{0}, [/mm] wobei d sich aus den Anfangswerten ergibt.
Einen anderen Weg gibt es meines Wissens nicht.
Grüße, Steffen
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