inhomogene DGL der 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Sa 26.01.2008 | | Autor: | kroedler |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL durch Trennung der Variablen und Variation der Konstanten.
[mm] xy' - y = \bruch{x} {x*ln(x)} [/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zuerst habe ich die allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen ermittelt. Diese lautet wie folgt:
[mm] y_{h} = x + C [/mm]
um die partikuläre Lösung zu bestimmen, habe ich die Variablen variiert:
[mm] y_{p} = x + C(x) [/mm]
[mm] y_{p}' = 1 + C'(x) [/mm]
Nun habe ich diese Gleichungen in die DGL eingesetzt, allerdings komme ich dann nicht auf ein zufriedenstellendes Ergebnis, da auf der linken Seite C'(x) und auf der rechten Seite C(x) steht.
Ich befinde mich momentan in der Prüfungsvorbereitung zu Mathe2 und bin über jede Hilfe dankbar. Vielen Dank für eure Mühe!
Gruß
Chris
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Hallo,
> Lösen Sie folgende DGL durch Trennung der Variablen und
> Variation der Konstanten.
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> [mm]xy' - y = \bruch{x} {x*ln(x)}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Zuerst habe ich die allgemeine Lösung durch Trennung der
> Variablen ermittelt. Diese lautet wie folgt:
>
> [mm]y_{h} = x + C[/mm]
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> um die partikuläre Lösung zu bestimmen, habe ich die
> Variablen variiert:
>
> [mm]y_{p} = x + C(x)[/mm]
> [mm]y_{p}' = 1 + C'(x)[/mm]
>
> Nun habe ich diese Gleichungen in die DGL eingesetzt,
> allerdings komme ich dann nicht auf ein zufriedenstellendes
> Ergebnis, da auf der linken Seite C'(x) und auf der rechten
> Seite C(x) steht.
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> Ich befinde mich momentan in der Prüfungsvorbereitung zu
> Mathe2 und bin über jede Hilfe dankbar. Vielen Dank für
> eure Mühe!
>
> Gruß
> Chris
Bei der Lösung der homogenen DGL hat sich ein Fehler eingeschlichen:
$x*y'-y = 0$
[mm] $\bruch{1}{y}*\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{y}\;dy [/mm] = [mm] \integral \bruch{1}{x}\;dx$
[/mm]
$ln|y|=ln|x|+D$
$y = C*x$
Variation der Konstanten ergibt dann
$y = C(x)*x$
$y' = C'(x)*x+C(x) $
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 26.01.2008 | | Autor: | guenther |
Hallo Martinius,
darf man in der DGL auf der rechten Seite von vornherein das x kürzen oder geht dadurch die Information x nicht Null verloren?
Im Ergebnis bliebe dann y´= C(x) übrig?
lg, Hartmut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
für x=0 ist lnx nicht definiert. d.h. auch die Dgl nicht! der GW x gegen 0 ergibt allerdings die rechte Seite 0, so dass man stetig ergänzen kann.
dann kann man auch kürzen.
wie du auf y'=C(x) kommst ist mir allerdings schleierhaft. es ist sicher falsch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Sa 26.01.2008 | | Autor: | guenther |
das war ja meine Frage, daß für x = 0 die DGL sinnlos ist,
vielleicht umständlich formuliert, aber danke
lg, guenther
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mo 28.01.2008 | | Autor: | kroedler |
Wie ergibt sich denn aus
ln|y|=ln|x|+D
das:
y = C*x
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kroedler!
Setze hier $D \ := \ [mm] \ln|C$ [/mm] ein und wende ein  Logarithmusgesetz an:
[mm] $$\ln|y| [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|+D [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|+\ln|C| [/mm] \ = \ [mm] \ln|C*x|$$
[/mm]
Und nun auf beiden Seiten der Gleichung die e-funktion anwenden.
Gruß
Loddar
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