inf, sup, Beschränktheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Sei M eine nicht leere und nach unten beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] mit inf M > 0. Für M' = [mm] \{x \in \IR : \frac{1}{x} \in M\} [/mm] ist M' nach oben beschränkt.
Die Lösung habe ich schon. Allerdings verstehe ich sie nicht wirklich.
Es hakt schon beim Beweis, dass M' nach oben beschränkt ist - so wurde das gemacht:
(*) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M so daß gilt inf M < x < inf(M) + [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \beta [/mm] > 0 mit [mm] \frac{1}{\beta} [/mm] < x [mm] \Rightarrow \frac{1}{x} [/mm] < [mm] \beta [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1}{x} \in [/mm] M' [mm] \Rightarrow [/mm] M' ist nach oben beschränkt.
So - in (*) passiert ja das folgende:
Es wird in x gesucht, welches in M liegt und größer als inf M und kleiner als inf(M) + [mm] \varepsilon [/mm] ist. Kann mir jemand mal erklären, welche Magie hinter dem [mm] \varepsilon [/mm] steckt? Das will nicht in mein Kopf.
Der Rest ist mir wieder klar. Danke.
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> Sei M eine nicht leere und nach unten beschränkte Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] mit inf M > 0. Für M' = [mm]\{x \in \IR : \frac{1}{x} \in M\}[/mm]
> ist M' nach oben beschränkt.
>
> Die Lösung habe ich schon. Allerdings verstehe ich sie
> nicht wirklich.
>
> Es hakt schon beim Beweis, dass M' nach oben beschränkt ist
> - so wurde das gemacht:
>
> (*) [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M so daß gilt inf
> M < x < inf(M) + [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm] \beta[/mm] > 0 mit [mm]\frac{1}{\beta}[/mm] < x [mm]\Rightarrow \frac{1}{x}[/mm]
> < [mm]\beta[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{x} \in[/mm] M' [mm]\Rightarrow[/mm] M' ist nach oben
> beschränkt.
>
> So - in (*) passiert ja das folgende:
>
> Es wird in x gesucht, welches in M liegt und größer als inf
> M und kleiner als inf(M) + [mm]\varepsilon[/mm] ist. Kann mir jemand
> mal erklären, welche Magie hinter dem [mm]\varepsilon[/mm] steckt?
Hallo,
die Magie hinter dem [mm] \varepsilon [/mm] ist keine.
Es ist das Infimum infM der Menge M die kleinste untere Schranke v. M.
Daher liegt für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] x\in [/mm] M zwischen inf M und [mm] infM+\varepsilon. [/mm] (Sonst wäre infM nicht das Infimum!).
Nun geht es so weiter: sei [mm] \alpha:=inf [/mm] M>0.
Dann gibt es ein [mm] \beta>0 [/mm] mit [mm] \bruch{1}{\beta}=\alpha=inf M\le [/mm] x \ für alle [mm] x\in [/mm] M
==> [mm] \beta \ge \bruch{1}{x} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M ==> [mm] \beta \ge [/mm] y für alle [mm] y\in [/mm] M' (denn in M' sind ja gerade die Kehrwerte der Elemente aus M), und damit ist [mm] \beta [/mm] eine obere Schranke v. M'.
Bis hierher hätte man auf das [mm] \varepsilon [/mm] gut verzichten können, ich nehme an, daß Ihr es anschließend noch verwendet.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke für dein Antwort.
Ja das [mm] \varepsilon [/mm] verwenden wir später um die zweite Behauptung zu beweisen - allerdings legen wir da das [mm] \varepsilon [/mm] erneut fest. Das hat mich auch irritiert.
Also kann ich im ersten Teil (der Beweis, dass M' nach oben. besch. ist) ohne schlechtes Gewissen auf das [mm] \varepsilon [/mm] verzichten? Für mich hat das nämlich keinen Sinn gemacht - bzw. war einfach "unnötig".
Man kann doch auch einfach sowas schreiben:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M : inf(M) < x
usw.
Richtig?
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> Also kann ich im ersten Teil (der Beweis, dass M' nach
> oben. besch. ist) ohne schlechtes Gewissen auf das
> [mm]\varepsilon[/mm] verzichten? Für mich hat das nämlich keinen
> Sinn gemacht - bzw. war einfach "unnötig".
Ja, an der Stelle braucht man es nicht, und es wäre mir nie im Traum eingefallen, es dort für die Beschränktheit zu verwenden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Do 29.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Mir auch nicht :)
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Doch noch eine Frage:
Wir haben dann gezeigt, dass sup(M') = [mm] \frac{1}{inf(M)} [/mm] ist. Den Beweis haben wir aufgeteilt in zwei Teile:
(1) sup(M') [mm] \ge \frac{1}{inf(M)}
[/mm]
(2) sup(M') [mm] \le \frac{1}{inf(M)}
[/mm]
Zu (1) habe ich gleich eine Frage - hier "unser" Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M : inf(M) + [mm] \varepsilon [/mm] > x
[mm] \Rightarrow \frac{1}{x} [/mm] < [mm] \frac{1}{inf(M)+\varepsilon} [/mm] < [mm] \frac{1}{inf(M)} \le [/mm] sup(M')
[mm] \Rightarrow \frac{1}{inf(M)} \le [/mm] sup(M')
Mir ist das alles klar bis auf das letzte Stück in:
[mm] \Rightarrow \frac{1}{x} [/mm] < [mm] \frac{1}{inf(M)+\varepsilon} [/mm] < [mm] \frac{1}{inf(M)} \le [/mm] sup(M')
Wie kommt man da auf das [mm] \le [/mm] sup(M')
Bis dahin ist mir alles klar. Dass die Ausdrücke alle [mm] \le [/mm] sup(M') sind leuchtet ein - aber muss man das nicht irgendwie zeigen/herleiten?
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Mir ist das alles klar bis auf das letzte Stück in:
> $ [mm] \Rightarrow \frac{1}{x} [/mm] $ < $ [mm] \frac{1}{inf(M)+\varepsilon} [/mm] $ < $ [mm] \frac{1}{inf(M)} \le [/mm] $ sup(M')
> Wie kommt man da auf das $ [mm] \le [/mm] $ sup(M')
Hallo,
der Gedanke ist wohl der:
da die [mm] \frac{1}{x} [/mm] beliebig dicht an [mm] \frac{1}{inf(M)} [/mm] herangehen, kann ddas Supremum v. M' nicht kleiner als [mm] \frac{1}{inf(M)} [/mm] sein.
Ich sage Dir jetzt mal, wie ich den Beweis machen würde.
Wir haben also eine Menge [mm] M\subseteq \IR, [/mm] welche ein Infimum hat, und zwar ist infM>0, was bedeutet, daß alle [mm] x\in [/mm] M größer als 0 sind.
Betrachtet wird nun die Menge [mm] M':=\{x | \bruch{1}{x} \in M\} =\{\bruch{1}{x}| x\in M\}, [/mm] die Menge, die genau alle Kehrwerte der Elelmente aus M enthält.
Behauptung: M' hat ein Supremum, und es ist [mm] supM=\bruch{1}{infM}
[/mm]
Bew.:
1. Beh.: [mm] \bruch{1}{infM} [/mm] ist eine obere Schranke v. M'.
Bew: sei [mm] x\in [/mm] M.
Es ist [mm] x\ge [/mm] infM ==> [mm] \bruch{1}{x}\le \bruch{1}{infM}.
[/mm]
Also gilt für alle [mm] y\in [/mm] M': y [mm] \le \bruch{1}{infM}, [/mm] und somit ist [mm] \bruch{1}{infM} [/mm] eien obere Schranke v. M'
2.Beh.: es ist [mm] \bruch{1}{infM} [/mm] die kleinste obere Schranke v. M'.
Bew.: Angenommen es gäbe eine kleinere obere Schranke s.
Dann ware für alle x [mm] \in [/mm] M' [mm] x\le [/mm] s< [mm] \bruch{1}{infM}
[/mm]
==> für alle [mm] x\in [/mm] M' gilt: [mm] \bruch{1}{x}\ge \bruch{1}{s}> [/mm] infM
==> für alle [mm] y\in [/mm] M gilt: y [mm] \ge \bruch{1}{s}> [/mm] infM
Also ist [mm] \bruch{1}{s} [/mm] eine untere Schranke v. M.
Widerspruch, denn infM ist die größte untere Schranke v. M.
Also gibt es keine kleinere ober Schranke v. M' als [mm] \bruch{1}{infM}.
[/mm]
Folglich ist [mm] \bruch{1}{infM} [/mm] das Supremum v. M'.
Gruß v. Angela
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