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| Aufgabe | Es sei [mm] \IR^2 [/mm] mit der von der euklidischen Metrik induzierten Topologie ausgestattet und
A = [mm] \{(\bruch{1}{n},\bruch{1}{m}) | n,m \in\IN\} \subset \IR^2
[/mm]
Bestimme die Mengen Abschluss von A, Innerer Kern von A und Rand von A explizit. |
Hallo,
ich denke man kann die Menge schreiben als (0,1] X (0,1] ist das soweit richtig?
Und ich bin mir unsicher was für Elemente darin liegen, eigentlich würd ich ja sagen
nur rationale zahlen zwischen 0 und 1 oder sind das sogar die reellen Zahlen weil [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\IR^2[/mm] mit der von der euklidischen Metrik
> induzierten Topologie ausgestattet und
> A = [mm]\{(\bruch{1}{n},\bruch{1}{m}) | n,m \in\IN\} \subset \IR^2[/mm]
>
> Bestimme die Mengen Abschluss von A, Innerer Kern von A und
> Rand von A explizit.
> Hallo,
> ich denke man kann die Menge schreiben als (0,1] X (0,1]
> ist das soweit richtig?
Überhaupt nicht. Du kannst A schreiben als
[mm] A= \{1,1/2,1/3,1/4,\dots\}\times \{1,1/2,1/3,1/4,\dots\} [/mm] .
> Und ich bin mir unsicher was für Elemente darin liegen,
> eigentlich würd ich ja sagen
> nur rationale zahlen zwischen 0 und 1 oder sind das sogar
> die reellen Zahlen weil [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt?
Keinesfalls. Mit dieser Argumentation könnte ich auch sagen, dass [mm] $\IQ=\IR$ [/mm] ist, weil [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
Viele Grüße
Rainer
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Seltsam, unser Tutor hat irgendwas von nem Halboffenen Intervall gesagt was wir aus Analysis 1 wissen und verwenden dürfen.
Warum muss denn n=m gelten?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seltsam, unser Tutor hat irgendwas von nem Halboffenen
> Intervall gesagt was wir aus Analysis 1 wissen und
> verwenden dürfen.
>
> Warum muss denn n=m gelten?
Gilt nicht. Wie kommst du drauf?
[mm] \{1,1/2,1/3,1/4,\dots\}\times \{1,1/2,1/3,1/4,\dots\} \not= \{(1,1),(1/2,1/2),(1/3,1/3),\dots\} [/mm] ,
denn die Menge links hat ja auch Elemente wie $(1,1/2)$ oder $(1/127,1/4711)$.
Viele Grüße
Rainer
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Oh, dann hab ich einen Denkfehler gemacht,
also wäre das Richtig wenn ich die Menge skizziere, dass ich dann ein rechteck
im 1. Quadranten bekomme und die x und y Achse nicht in meiner Menge liegen?
Und wie sieht dann meine Epsilon Umgebung aus, sind da nur Punkte aus [mm] \IQ^2 [/mm] drin oder auch aus [mm] \IR^2
[/mm]
Danke.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh, dann hab ich einen Denkfehler gemacht,
> also wäre das Richtig wenn ich die Menge skizziere, dass
> ich dann ein rechteck
> im 1. Quadranten bekomme und die x und y Achse nicht in
> meiner Menge liegen?
Da ist soweit richtig, dass die Elemente der Menge A alle in diesem Quadrat liegen, und keiner davon liegt auf den Achsen. Aber das Quadrat ist nicht die Menge.
> Und wie sieht dann meine Epsilon Umgebung aus, sind da nur
> Punkte aus [mm]\IQ^2[/mm] drin oder auch aus [mm]\IR^2[/mm]
Alle Punkte aus [mm] $\IQ^2$ [/mm] liegen auch in [mm] $\IR^2$. [/mm]
Nochmal: es kommen nur Punkte vor, deren x- und y- Koordinate die Form $1/n$ haben. Es gibt also den Punkt $(1,1)$ in der rechten oberen Ecke des Quadrats, dann den Punkt $(1/2),(1/2)$ in der Mitte des Quadrats, dann noch $(1,1/2)$ und $(1/2,1)$ in der Mitte der rechten bzw. oberen Seitenlinie, usw. Punkte mit nichtrationalen x- oder y-Koordinaten kommen nicht vor.
Das bedeutet: bei [mm] $\varepsilon=1/2$ [/mm] liegen in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $(1,1)$ keine weiteren Punkte. Bei [mm] $\varepsilon=1/6$ [/mm] liegen in den [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] von $(1/2),(1/2)$, $(1,1/2)$ und $(1/2,1)$ keine weiteren Punkte.
Das siehst du sofort, wenn du dir die ersten 16 Punkte der Menge einfach aufmalst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 16.11.2012 | | Autor: | helicopter |
Jetzt ist mir alles klar, vielen Dank!!
Gruß
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