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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fract |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Sei X ein normierter Vektorraum über [mm] \IR [/mm] mit Norm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] und mit der von der Norm induzierten
Metrik d, de niert durch d(x; y) = [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel. [/mm] Dann erfüllt die Metrik für alle x; y; z [mm] \in [/mm] X, a [mm] \in \IR,
[/mm]
d(x - z; y - z) = d(x; y) und d(ax; ay) =|a|d(x; y) .
b) Sei (X; d) ein metrischer Vektorraum über [mm] \IR. [/mm] Die Metrik d erfülle die beiden Eigenschaften aus
Teilaufgabe a). Dann gibt es eine Norm auf X, die d induziert.
c) Ist die diskrete Metrik auf X [mm] \not=\{0\} [/mm] von einer Norm induziert? |
Also ich hab die Teilaufgabe a selbst gelöst und relativ schnell gezeigt.
Bei b und c weiß ich nun allerdings nicht, wie ich das angehen soll/kann.
Ich hoffe, dass mir jemand nen Ansatz geben könnte. Danke schon mal dafür
mfg frac
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mo 23.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Bei b und c weiß ich nun allerdings nicht, wie ich das
> angehen soll/kann.
Zur b): [m]||y||=||y-0||[/m]. Wie kann man die Norm also edfineiren? Dann checken, ob es eine ist.
Zur c): erfüllt diese Metrik die erste Bedingung? Erfüllt sie die zweite?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fract |
> > Bei b und c weiß ich nun allerdings nicht, wie ich das
> > angehen soll/kann.
>
> Zur b): [m]||y||=||y-0||[/m]. Wie kann man die Norm also
> edfineiren? Dann checken, ob es eine ist.
äöhm versteh den hinweis jetzt nicht so ganz.. was meinst du denn damit? meinst du das hier: $ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] := d(x,0) $ oder wie muss die norm aussehen?
> Zur c): erfüllt diese Metrik die erste Bedingung? Erfüllt
> sie die zweite?
heißt ich muss hier die diskrete metrik, d(x,y)=1 für x,y [mm] \in [/mm] X [mm] \not= \{ 0 \} [/mm] mit [mm] x\ne [/mm] y , auf die beiden eigenschaften prüfen?
Frac
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zu b: Du verstehst den Hinweis genau richtig!
zu c: Ja, genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fract |
sorry falls ich nochmal nachfrage, aber ich bin mir immer noch etwas unsicher deswegen schreib ich jetze mal wie ich mir das bei b gedacht hab:
Sei [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel:=d(x,0)$. [/mm] Dann gilt für alle x,y [mm] \in [/mm] X und a [mm] \in \IR:
[/mm]
$ [mm] ||x||=0\Rightarrow d(x,0)=0\Rightarrow [/mm] x=0 $.
[mm] $\parallel [/mm] ax [mm] \parallel=d(ax,0)=|a|d(x,0)=|a|||x||$
[/mm]
$ [mm] ||x+y||=d(x+y,0)=d(x,y)\le [/mm] d(x,0)+d(0,y)=d(x,0)+d(y,0)=||x||+||y|| $
damit ist es eine metrik. Ist das richtig so?
bei c hab ich das nun so gemacht:
Es muss gelten:
$ [mm] \parallel [/mm] 0 [mm] \parallel=0 [/mm] $ und $ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=1 [/mm] $ für $ x [mm] \not=0 [/mm] $. Wähle $ [mm] \alpha=2, [/mm] $ x=1.
Dann folgt: $ 1= [mm] \parallel 2\cdot{}1 \parallel [/mm] = [mm] |2|\cdot{} \parallel [/mm] 1 [mm] \parallel=2\cdot{}1=2 [/mm] $. Widerspruch!
ist auch das so korrekt?
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zu b: Das sieht schon gut aus! aber überleg dir nochmal genau, was gegeben ist und was du zeigen sollst. Du hast (fast) gezeigt, dass [mm] \mbox{||x||:=d(x, 0)} [/mm] eine Norm ist (Warum ist [mm] \mbox{||x|| \ge 0} [/mm] für alle [mm] \mbox{x \in X}? [/mm] Im Beweis der Dreiecksungleichung ist ein Fehler, obwol das Ergebnis [mm] \mbox{||x+y|| \le ||x|| + ||y||} [/mm] richtig ist).
zu c: Sieht auch gut aus. Aber woher hast du die [mm] \mbox{1 \in X} [/mm] ? Von [mm] \mbox{X} [/mm] ist nur bekannt, dass [mm] \mbox{X \not= \{0\}}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fract |
hab b jetze noch etwas ergänzt. ich versteh aber nicht so ganz was du mir sagen willst mit:
> aber überleg dir nochmal genau, was gegeben ist und was du zeigen sollst.
Sei $ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel:=d(x,0) [/mm] $. Dann gilt für alle x,y $ [mm] \in [/mm] $ X und a $ [mm] \in \IR: [/mm] $
$ [mm] ||x||=0\Rightarrow d(x,0)=0\Rightarrow [/mm] x=0 $ und $ [mm] ||x||\ge 0\Rightarrow d(x,0)\ge 0\Rightarrow x\ge [/mm] 0 $.
$ [mm] \parallel [/mm] ax [mm] \parallel=d(ax,0)=|a|d(x,0)=|a|||x|| [/mm] $
$ [mm] ||x+y||=d(x+y,0)=d(x,y)\le [/mm] d(x,0)+d(0,y)=d(x,0)+d(y,0)=||x||+||y|| $
ich finde auch den fehler in der dreiecksungleichung nicht..!?
c überarbeitet:
Es muss gelten:
$ [mm] \parallel [/mm] 0 [mm] \parallel=0 [/mm] $ und $ [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=1 [/mm] $ für $ x [mm] \not=0 [/mm] $. Wähle $ [mm] \alpha=2 [/mm] $.
Dann folgt für alle x [mm] \in [/mm] X, [mm] x\not= [/mm] 0 :
$ 1= [mm] \parallel 2\cdot{}x \parallel [/mm] = [mm] |2|\cdot{} \parallel [/mm] x [mm] \parallel=2\cdot{}1=2 [/mm] $. Widerspruch!
stimmt c dann jetze?
danke schon mal für deine mühe
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b1: Damit $||x||:=d(x, 0)$ eine Norm ist, musst du noch zeigen, dass $||x|| [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$, mit anderen Worten, dass $x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] ||x|| [mm] \ge [/mm] 0$. Das ergibt sich ziemlich direkt aus deiner Definition der Norm.. (nochmal Metrik-Eigenschaften angucken)
b2: Woher nimmst du $ d(x+y,0)=d(x,y)$? Da hast du ein Minus unter den Tisch fallen lassen.
c: "es folgt für alle $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $x\not= [/mm] 0$" heißt noch nicht, dass es solche $x$e gibt! Es könnte ja sein, dass es gar kein solches $x$ gibt, und dann hast du auch keinen Widerspruch. (Mit anderen Worten: Wenn es ein solches $x$ gibt, dann folgt auch [...], das hast du gezeigt. Aber ob es ein solches $x$ gibt, ist ja gar nicht gesagt damit.)
Daher sollte man noch erwähnen, dass es mindestens ein solches $x$ gibt und warum.
Ich guck jetzt Video, viel Erfolg noch :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fract |
danke schön^^
also b krieg ich jetze hin und c im endeffekt auch nur ich weiß nicht, wie ich argumentieren kann, dass so ein x wirklich existiert...
vielleicht kann mir da ja noch jemand nen tipp geben, wie ich da argumentieren kann..
oh man was ne schwere geburt heute wieder... danke
frac
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Guck nochmal in die Aufgabenstellung von c, was du über $X$ weißt.. So, jetzt aber zum Video :)
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