induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Mit hilfe der vollständigen induktion zeige man, dass [mm] (n^2) [/mm] -1 für alle ungeraden natürlichen zahlen durch 8 teilbar ist. |
wusste nicht ob ich sie an meine gerade gestellte frage anhängen soll oder sie zu unterschiedlich sind. habe hier das selbe problem das ich nicht weiß wie ich vernünftig die gleichung aufstellen soll.
habe schon am anfang mehrere variablen verwendet, und weiß nicht wohin das führt. meine errechnete zahl muss ja durch 8 teilbar sein, und das ganzzahlig.
[mm] n^2-1= \bruch{m}{8} [/mm]
habe: n als element der natürlichen zahlen für die gilt 2n-1...wegen ungerade zahl.
m= elemant der natürlichen zahl für die gilt m durch 8 ist element der natürlichen zahlen.
damit müsst ich eigentlich alles festgelegt haben, dass n ungerade zahlen sind, und das ergebnis...also m ganzzahlig durch 8 teilbar sein muss.
1.schritt: wieder für n=1 : [mm] 1^2-1=0 [/mm] ...genauer gesagt wegen meinem n=2*n-1, n=1: [mm] (2*1-1)^2-1=0 [/mm]
0 ist durch acht ganzzahlig teilbar. also stimmt die gleichung für n=1.
2.schritt: annahme gilt für n element der natürlichen zahlen bis zu einer natürlichen zahl N größer/gleich 1 {1,2,3,.....,N} hier ist wieder N als endwert genommen.
3.schritt. beweisen das die annahme auch für (N+1) gilt, also für die folgende zahl, nach meinem endwert N.
hier wieder das selbe problem. weiß nicht wie ich da rechnen in vernünftiger mathematischer schriftform. weiß ja nicht ob meine darstellung
[mm] n^2-1= \bruch{m}{8} [/mm] so richtig ist.
wieder für jede hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> habe schon am anfang mehrere variablen verwendet, und weiß
> nicht wohin das führt. meine errechnete zahl muss ja durch
> 8 teilbar sein, und das ganzzahlig.
> [mm]n^2-1= \bruch{m}{8}[/mm]
Nun, ich würde die Gleichung anders aufstellen. Deine Zahl x muss durch 8 teilbar sein, was heißt das? Das heißt, du kannst deine Zahl als Produkt aufstellen: x = y*8 mit der Eigenschaft, dass y eine ganze Zahl ist.
also um in deiner Variablenbelegung zu bleiben:
[mm]n^2 -1 = m*8[/mm]
Der Induktionsanfang:
n=1: [mm]0 = 1-1 = m*8[/mm] (erfüllt für m = 0)
Nun nehmen wir an, dass diese Gleichung bereits für die ersten n-2 Schritte bewiesen sei.
Also schon gezeigt: [mm](n-2)^2 -1 = m*8[/mm]
z.Z.: [mm]n-2 \to n[/mm] (da n-1 ja keine ungerade Zahl sein kann)
Hilfszeile: [mm](n-2)^2 - 1 = n^2 - 4n + 4 - 1 = n^2 - 1 - 4n + 4[/mm]
Induktionsschritt:
[mm]n^2 - 1 = n^2 - 1 -4n + 4 + 4n - 4= (n-2)^2 + 4n - 4 = m*8 + 4n - 4[/mm]
Nun müssen wir zeigen, dass der Term m*8 + 4n - 4 insgesamt ein Vielfaches von 8 ist. Dann sind wir fertig.
Also: m*8 + 4n - 4 = o*8 für eine ganze Zahl o.
Umformen ergibt: 4n-4 = (m-o)*8 (Anschaulich klar: Es reicht, zu zeigen, dass 4n-4 ein vielfaches von 8 ist - für alle ungeraden Zahlen echt größer 1).
Es bietet sich wieder Induktion an (...) diese ist aber dieses Mal ziemlich einfach. Ich habe dir jetzt schon mehr vorgerechnet, als ich ursprünglich wollte, mir sind bis hierhin aber auch keine guten/brauchbaren Tipps eingefallen.
Ich hoffe, es hat geholfen. 
|
|
|
| |
|
> > habe schon am anfang mehrere variablen verwendet, und weiß
> > nicht wohin das führt. meine errechnete zahl muss ja durch
> > 8 teilbar sein, und das ganzzahlig.
> > [mm]n^2-1= \bruch{m}{8}[/mm]
>
> Nun, ich würde die Gleichung anders aufstellen. Deine Zahl
> x muss durch 8 teilbar sein, was heißt das? Das heißt, du
> kannst deine Zahl als Produkt aufstellen: x = y*8 mit der
> Eigenschaft, dass y eine ganze Zahl ist.
>
> also um in deiner Variablenbelegung zu bleiben:
>
> [mm]n^2 -1 = m*8[/mm]
>
> Der Induktionsanfang:
>
> n=1: [mm]0 = 1-1 = m*8[/mm] (erfüllt für m = 0)
>
> Nun nehmen wir an, dass diese Gleichung bereits für die
> ersten n-2 Schritte bewiesen sei.
also dass du m*8 gleichsetzt mit [mm] n^2-1 [/mm] leuchtet ein. aber soziemlich alles danach versteh ich nicht. wieso n-2 schritte. und du schreibst [mm] (n-2)^2...um [/mm] auf eine ungerade zahl zu kommen? das hatte ich vorher als n=(2n-1) bezeichnet. ist das selbe oder? okay hätte vll heißen sollen n=(2x-1). also egal was ich für x einsetze ab 1 aufwärts, bekomme ich jede folgende ungerade zahl raus.
> Also schon gezeigt: [mm](n-2)^2 -1 = m*8[/mm]
> z.Z.: [mm]n-2 \to n[/mm] (da
> n-1 ja keine ungerade Zahl sein kann)
>
> Hilfszeile: [mm](n-2)^2 - 1 = n^2 - 4n + 4 - 1 = n^2 - 1 - 4n + 4[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> [mm]n^2 - 1 = n^2 - 1 -4n + 4 + 4n - 4= (n-2)^2 + 4n - 4 = m*8 + 4n - 4[/mm]
>
> Nun müssen wir zeigen, dass der Term m*8 + 4n - 4
> insgesamt ein Vielfaches von 8 ist. Dann sind wir fertig.
>
> Also: m*8 + 4n - 4 = o*8 für eine ganze Zahl o.
> Umformen ergibt: 4n-4 = (m-o)*8 (Anschaulich klar: Es
> reicht, zu zeigen, dass 4n-4 ein vielfaches von 8 ist -
> für alle ungeraden Zahlen echt größer 1).
>
> Es bietet sich wieder Induktion an (...) diese ist aber
> dieses Mal ziemlich einfach. Ich habe dir jetzt schon mehr
> vorgerechnet, als ich ursprünglich wollte, mir sind bis
> hierhin aber auch keine guten/brauchbaren Tipps
> eingefallen.
>
> Ich hoffe, es hat geholfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 aufeinanderfolgende ungerade Zahlen unterscheiden sich um 2
wenn also n-2 ug ist, dann ist die nächste ug. Zahl n.
deshalb, wenn die Aussage für n-2 wahr ist, musst du noch zeigen, dass sie auch für n wahr ist.
du kannst auch anfangen mit die Aussage ist für n wahr, dann beweisen, dass sie für n+2 wahr ist,
alsorichtig ist [mm] n^2-1=8*m m\in \IN
[/mm]
Behauptung: daraus folgt [mm] (n+2)^2-108*k [/mm] mit k [mm] \in \IN
[/mm]
jetzt (n+2)^-1 in [mm] n^2-1 [/mm] und den Rest aufteilen, und zeigen, dass der Rest auch durch 8 teilbar ist.
Gruss leduart
|
|
|
|
