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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mo 14.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, an alle!
ich hab versucht folgende aufgabe mit induktion zu lösen, aber leider komme ich beim induktonsschritt nicht weiter.
aufgabe:
Sei f: [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1],
f(x) = 2x falls 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= 2x - 1 falls [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
seien weiterhin [mm] f^{(0)} [/mm] (x) = x und [mm] f^{(n+1)} [/mm] (x) = [mm] f(f^{(n)}) [/mm] (x) für n = 0, 1, ...
zeige, dass für jedes intervall I [mm] \subset [/mm] [0,1] gilt, dass
[mm] \lambda ((f^{(n)})^{-1} [/mm] [I]) = [mm] \lambda [/mm] [I] ,
d.h. das längen- oder lebesquemaß auf [0,1] ist invariant unter allen [mm] f^{(n)}.
[/mm]
so bin ich vorgegangen: sei x [mm] \in [/mm] I.
I-anfang: n = 0
[mm] \lambda ((f^{(0)})^{-1} [/mm] (x)) = [mm] \lambda [/mm] (x) (nach def.)
I-schritt: n -> n+1
[mm] \lambda ((f^{(n+1)})^{-1} [/mm] (x)) = [mm] \lambda (((f(f^{(n)}))^{-1} [/mm] (x))
der letzte term ist ja eine komposition. darf ich da dann die komponenten beliebig vertauschen? wenn ja, dann hab ich so weitergemacht:
[mm] f^{-1} (\lambda ((f^{(n)})^{-1} [/mm] (x)) = [mm] f^{-1} (\lambda [/mm] (x)) = [mm] \lambda (f^{-1}(x))
[/mm]
und jetzt? hier komme ich nicht mehr weiter, vorausgesetzt, das alles davor hat überhaupt gestimmt.
meine fragen an euch wären jetzt:
ist es überhaupt richtig, diese aufgabe mit hilfe von induktion zu lösen?
wenn ja, wo ist mein fehler beim I-schritt?
vielen dank für jede hilfe!
VHN
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> hallo, an alle!
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> ich hab versucht folgende aufgabe mit induktion zu lösen,
> aber leider komme ich beim induktonsschritt nicht weiter.
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> aufgabe:
> Sei f: [0,1] [mm]\to[/mm] [0,1],
> f(x) = 2x falls 0 [mm]\le[/mm] x < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> = 2x - 1 falls [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> seien weiterhin [mm]f^{(0)}[/mm] (x) = x und [mm]f^{(n+1)}[/mm] (x) =
> [mm]f(f^{(n)})[/mm] (x) für n = 0, 1, ...
> zeige, dass für jedes intervall I [mm]\subset[/mm] [0,1] gilt, dass
> [mm]\lambda ((f^{(n)})^{-1}[/mm] [I]) = [mm]\lambda[/mm] [I] ,
> d.h. das längen- oder lebesquemaß auf [0,1] ist invariant
> unter allen [mm]f^{(n)}.[/mm]
>
> so bin ich vorgegangen: sei x [mm]\in[/mm] I.
> I-anfang: n = 0
> [mm]\lambda ((f^{(0)})^{-1}[/mm] (x)) = [mm]\lambda[/mm] (x) (nach def.)
Hallo,
hier stimmt etwas nicht...
Wie ist denn das Lebesguemaß bei Dir definiert?
Jedenfalls ist es auf Mengen definiert. [mm] \lambda(x) [/mm] kommt da nicht vor! Allenfalls [mm] \lambda( [/mm] {x} ), und das wäre =0, aber das wollen die gar nicht wissen. Sondern Du sollst zeigen, daß für jedes beliebige Intervall, welches in [0,1] liegt, gilt
[mm]\lambda ((f^{(n)})^{-1}[/mm] [I]) = [mm]\lambda[/mm] [I]
Ich bin mit Euren Bezeichnungen natürlich nicht vertraut, aber " [I] " meint bestimmt den Abschluß, oder?
Du mußt Dir also ein Intervall [a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,1] hernehmen, und zeigen, daß die Behauptung stimmt.
Eine Induktion zu machen, ist prinzipiell schon richtig.
Wenn ich es zu lösen hätte, würde ich mir aber, bevor ich mit dem Beweisen anfange, die Sache mal für kleine n anschauen:
Wie sehen die [mm] f^{(n)} [/mm] für n=1,2,3 aus?
Stimmt da die Behauptung?
Wenn ja, woran liegt es, daß sie stimmt?
Ja, so mache ich das immer - zumindest an Tagen, an denen die Nerven nicht blank liegen...
Gruß v. Angela
>
> I-schritt: n -> n+1
> [mm]\lambda ((f^{(n+1)})^{-1}[/mm] (x)) = [mm]\lambda (((f(f^{(n)}))^{-1}[/mm]
> (x))
>
> der letzte term ist ja eine komposition. darf ich da dann
> die komponenten beliebig vertauschen? wenn ja, dann hab ich
> so weitergemacht:
>
> [mm]f^{-1} (\lambda ((f^{(n)})^{-1}[/mm] (x)) = [mm]f^{-1} (\lambda[/mm] (x))
> = [mm]\lambda (f^{-1}(x))[/mm]
>
> und jetzt? hier komme ich nicht mehr weiter, vorausgesetzt,
> das alles davor hat überhaupt gestimmt.
> meine fragen an euch wären jetzt:
> ist es überhaupt richtig, diese aufgabe mit hilfe von
> induktion zu lösen?
> wenn ja, wo ist mein fehler beim I-schritt?
>
> vielen dank für jede hilfe!
> VHN
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 15.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo!
danke für deine antwort erstmal.
allerdings stecke in noch vollkommen im beweis fest.
meine erste frage erstmal wäre: meint man mit [mm] f^{(n)}, [/mm] dass es die n-te ableitung von f ist? oder ist dieses n ein exponent?
ich habe nun geschaut, was [mm] f^{(n)} [/mm] für n=1, 2, 3 ist.
und folgendes kam raus:
[mm] f^{(1)} [/mm] (x) = [mm] f(f^{(0)}(x)) [/mm] = f (x)
[mm] f^{(2)} [/mm] (x) = [mm] f(f^{(1)}(x)) [/mm] = f(f (x)) = [mm] f^{2} [/mm] (x)
[mm] f^{(3)} [/mm] (x) = [mm] f(f^{(2)}(x)) [/mm] = [mm] f(f^{2} [/mm] (x)) = [mm] f^{3} [/mm] (x)
und nun? jetzt habe ich mit induktion angefangen:
sei [a,b] [mm] \subset [/mm] I [mm] \subset [/mm] [0,1]:
IA)
[mm] \lambda((f^{(0)})^{-1}[a,b]) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] [a,b] = b-a
richtig!
IS) n -> n+1
[mm] \lambda ((f^{(n+1)})^{-1}[a,b]) [/mm] = [mm] \lambda ((f(f^{(n)}))^{-1}[a,b])
[/mm]
hier komme ich nicht weiter. was ist [mm] (f^{(n)})^{-1}[a,b] [/mm] ? wie kann ich das in die funktion einsetzen, wenn [a,b] doch ein intervall ist?
ich wäre dankbar für jede antwort! vielen dank!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo VHN
irgendwie läuft wa ganz falsch bei dir! hast du dir die Fkt. f1,f2,f3 schon mal skizziert? Es ist ein "Sägezahn", dessen Zähne 1 hoch sind und die Zahl der Zähne zw. 0 und 1 nimmt mit n zu!
was [mm] f^{(n)} [/mm] ist ist doch definiert, hast du ja auch richtig hingeschrieben: man setzt die (n-1)te Fkt in f(x), das mit 2x bzw 2x-1 definiert ist ein und findet damit die nte Fkt. Also eine rekursive Definition.
Und natürlich ist dann f(f(x)) [mm] \ne f^{2}(x) [/mm] denn unter f{2}(x) versteht man f(x)*f(x).
Also schrib erstmal [mm] f^{(1)}(x) [/mm] =f(x), daraus [mm] f^{(2)}(x) [/mm] einzeln für die Intervalle 0<f(x)<0,5 und 0,5<f(x)<1 hin. du solltest sehen, dass das 4 Intervalle für x sind! also doppelt so viel Zacken.in jedem der 4 x-Intervalle geht [mm] f^{(2)}(x) [/mm] wieder von 0 bis 1 also musst du bei [mm] f^{(3)}(x)=f( f^{(2)}(x)) [/mm] wieder die 4 Intervalle für x in je 2 Unterteilen, hast also 8 Zacken. Wenn du das aufzeichest kriegst du schnell ein "Gefühl" für [mm] f^{(n)}
[/mm]
Viel Spass dabei!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Di 15.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo leduart!
danke für deine antwort!
ich habe nun versucht die graphen von f1, f2 usw. zu skizzieren und bin auch auf die zacken gekommen.
nach dem was ich rausgefunden habe, verdoppelt sich die anzahl der zacken immer und sie werden "immer paralleler" zur y-achse. stimmt das?
nun aber zur aufgabe:
[mm] (f^{(n)})^{-1} [/mm] [I] heißt doch, dass ich die umkehrfunktion von einem intervall I = [a,b] [mm] \subset [/mm] [0,1] [mm] (\in [/mm] y-achse) nehme, das auf der y-achse liegt, oder? ich kriege also durch [mm] (f^{(n)})^{-1} [/mm] [I] kleinere, aber gleichgroße Intervalle auf der x-achse, die jedoch nicht aneinanderhängen, sondern verteilt auf [0,1].
nach der aussage in der aufgabe muss also gelten, dass die länge dieser kleineren intervallstücke zusammenaddiert genau so groß ist wie die länge von dem ursprünglichen I auf der y-achse. stimmt das so?
aber das ist alles in worten. Wie kann ich das mehr "mathematischer" beweisen? geht der beweis überhaupt nun mit induktion?
wenn ja, dann weiß ich leider immer noch nicht wie.
ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen! danke!
VHN
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> hallo leduart!
>
> danke für deine antwort!
> ich habe nun versucht die graphen von f1, f2 usw. zu
> skizzieren und bin auch auf die zacken gekommen.
> nach dem was ich rausgefunden habe, verdoppelt sich die
> anzahl der zacken immer und sie werden "immer paralleler"
> zur y-achse. stimmt das?
>
> nun aber zur aufgabe:
> [mm](f^{(n)})^{-1}[/mm] [I] heißt doch, dass ich die umkehrfunktion
> von einem intervall I = [a,b] [mm]\subset[/mm] [0,1] [mm](\in[/mm] y-achse)
> nehme, das auf der y-achse liegt, oder? ich kriege also
> durch [mm](f^{(n)})^{-1}[/mm] [I] kleinere, aber gleichgroße
> Intervalle auf der x-achse, die jedoch nicht
> aneinanderhängen, sondern verteilt auf [0,1].
> nach der aussage in der aufgabe muss also gelten, dass die
> länge dieser kleineren intervallstücke zusammenaddiert
> genau so groß ist wie die länge von dem ursprünglichen I
> auf der y-achse. stimmt das so?
Hallo,
jetzt geht's ja wirklich vorwärts, ich habe den Eindruck, Du hast nun verstanden, worum es geht.
Ja, das stimmt so.
Da Deine Intervallchen sich nicht überlappen, geht dann mit [mm] \lambda [/mm] alles glatt.
> aber das ist alles in worten.
Ja, das ist ein Riesenschritt vorwärts. Wenn man es in Worten sagen kann, hat man kapiert, worum es geht.
Wie kann ich das mehr
> "mathematischer" beweisen? geht der beweis überhaupt nun
> mit induktion?
Mir fiele gar nichts anderes ein...
Der Induktionsanfang für n=0 ist einfach.
Im Induktionsschluß n [mm] \to [/mm] n+1 mußt Du natürlich die Induktionsvoraussetzung verarbeiten.
Ich würde so beginnen:
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] (f^{n+1})^{-1} [/mm] [a,b])
[mm] =\lambda [/mm] ( {x [mm] \in [/mm] [0,1]: [mm] f^{n+1}(x) \in [/mm] [a,b] })
[mm] =\lambda [/mm] ( {x [mm] \in [/mm] [0,1]: [mm] f(f^n(x)) \in [/mm] [a,b] })
[mm] =\lambda [/mm] ( {x [mm] \in [/mm] [0,1]: [mm] f^n(x) \in f^{-1} [/mm] [a,b] })
[mm] =\lambda [/mm] ( {x [mm] \in [/mm] [0,1]: [mm] f^n(x) \in [/mm] [...] [mm] \cup [/mm] [...] })
[mm] =\lambda [/mm] ( { ... } [mm] \cup [/mm] { ... } )
...
Gruß v. Angela
> wenn ja, dann weiß ich leider immer noch nicht wie.
> ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen! danke!
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> VHN
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