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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 15.11.2008 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | $ [mm] x_k= \bruch{f_k_+_1 }{f_k}, [/mm] $ wobei $ [mm] f_k_+_1=f_k [/mm] $ + $ [mm] f_k_-_1 [/mm] $ die Folge der Fibonacci Zahlen definiert.
zu zeigen sind die ungleichungen:
1.) $ [mm] \left| x_k_+_1 -g \right|\le 1/g\left| x_k-g \right| [/mm] $
2.) $ [mm] \left| x_k-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^1} \right) [/mm] $
g= $ [mm] \left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right) [/mm] $
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hallo leute
ich meine, den ersten teil ohne induktion gezeigt zu haben, komme aber nun beim 2. teil nicht weiter...
ausgangssituation ist, dass ich mittels ungleichungen zeigen soll, dass [mm] x_k [/mm] gegen den grenzwert g konvergiert.
wenn ich teil 2. beweisen will, kann ich dann so anfangen:
IA: erst ab [mm] x_3 [/mm] möglich (warum?)
[mm] $ \left| x_3-$ \left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right)| \le
\left( \bruch{1} \left ( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right )^4} \right)
[/mm]
dann ist [mm] \left| -0.118\right|\le1.145 [/mm]
IV: $ [mm] \left| x_k-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^1} \right) [/mm] $
zu zeigen ist dann: $ [mm] \left| x_k_+_1-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^2} \right) [/mm] $ ???
IS:[mm] $ \left| x_k_+_1-g \right|= $ \left| 1+ \left( \bruch{1}{x_k} \right)-g \right|=\left(\bruch{x_k (1-x_k -g}{x_k} \right) \le [/mm]
weiter?
bin für jede hilfe dankbar
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Hallo,
gibt in der Aufgabenstellung bitte noch die ersten beiden Glieder der Fibonaccifolge an.
Gruß v. Angela
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> [mm]x_k= \bruch{f_k_+_1 }{f_k},[/mm] wobei [mm]f_k_+_1=f_k[/mm] + [mm]f_k_-_1[/mm] die
> Folge der Fibonacci Zahlen definiert.
> zu zeigen sind die ungleichungen:
> 1.) [mm]\left| x_k_+_1 -g \right|\le 1/g\left| x_k-g \right|[/mm]
>
> 2.) [mm]\left| x_k-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^1} \right)[/mm]
>
> g= [mm]\left( \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \right)[/mm]
>
> hallo leute
>
> ich meine, den ersten teil ohne induktion gezeigt zu haben,
> komme aber nun beim 2. teil nicht weiter...
>
> ausgangssituation ist, dass ich mittels ungleichungen
> zeigen soll, dass [mm]x_k[/mm] gegen den grenzwert g konvergiert.
>
> wenn ich teil 2. beweisen will, kann ich dann so anfangen:
> IA: erst ab [mm]x_3[/mm] möglich (warum?)
Hallo,
da Du Deine Startwerte nicht mitteilst, halte ich mich beim Induktionsanfang erstmal vornehm zurück.
Ich gehe einfach davon aus, daß er funktioniert.
> IV: [mm]\left| x_k-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^1} \right)[/mm]
> zu zeigen ist dann: [mm]\left| x_k_+_1-g \right|\le \left( \bruch{1}{g^k^+^2} \right)[/mm]
> ???
>
Genau, das wäre im Induktionsschluß zu zeigen.
> IS:[mm] [mm] \left| x_k_+_1-g \right| [/mm]
[mm] \le 1/g\left| x_k-g \right| [/mm] (nach Teil 1.)
[mm] \le [/mm] ... (jetzt die Induktionsvoraussetzung.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Sa 15.11.2008 | | Autor: | dorix |
hallo angela,
sorry die späte meldung...komme gerad von der arbeit.
werde mich nochmal damit auseinander setzen und ggf. noch mal nachfragen.
bis dahin schon mal lieben dank
die startwerte sind übrigens [mm] f_0=1 [/mm] und [mm] f_1=1
[/mm]
schönen abend wünsch ich dir noch
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Hallo,
wie kann ich Teil 1.) der Aufgabe beweisen?
ich habe es durch einige Umformungen versucht, bin allerdings nie zu einem Ergebnis gekommen?
Vielen Dank im Vorraus Reticella
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Mach Dir zuerst einmal klar, warum da Betragsstriche stehen. Dann wird der weitere Weg besser sichtbar.
Es gilt [mm] x_{k+1}=1+\bruch{1}{x_k}
[/mm]
Den Nachweis dafür findest Du in dieser Diskussion, die ich Dir ja vorhin schon einmal verlinkt hatte.
Nehmen wir [mm] x_k\bruch{1}{g}=\bruch{2}{\wurzel{5}+1}=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
Also gilt [mm] x_{k+1}=1+\bruch{1}{x_k}>1+\bruch{1}{g}=1+\bruch{\wurzel{5}-1}{2}=\bruch{\wurzel{5}+1}{2}=g
[/mm]
zusammengefasst: [mm] x_kg
[/mm]
Mit wenig Überlegung siehst Du, dass natürlich auch [mm] x_k>g\Rightarrow x_{k+1}
Jetzt kannst Du die lästigen Betragsstriche loswerden (wobei eine Fallunterscheidung ansteht, aber eben nur noch zwei Fälle statt vorher 4), und dann sollte es eigentlich nicht mehr so schwer sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Eine kleine Rechenhilfe doch noch:
[mm] \wurzel{\bruch{3-\wurzel{5}}{2}}=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
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Hallo dorix und Reticella,
die zweite Aufgabe ist im wesentlichen viel Geschreibsel. Auch da ist eine Fallunterscheidung [mm] x_kg [/mm] nötig. (Hierzu meine Hilfestellung zu [mm] x_k, x_k+1 [/mm] in einem anderen Beitrag dieses Fadens)
Im ersten Fall, [mm] x_k>g \Rightarrow x_{k+1}
[mm] x_k-g\le \bruch{1}{g^{k+1}}
[/mm]
Damit ist nun zu zeigen, dass [mm] g-x_{k+1}\le \bruch{1}{g^{k+2}}
[/mm]
Aus der Voraussetzung wissen wir [mm] x_k\le g+\bruch{1}{g^{k+1}}
[/mm]
Die zweite Gleichung kann durch Ersetzen von [mm] x_{k+1} [/mm] aus der Rekursionsvorschrift vergleichbar gestaltet werden, allerdings ergibt sich aufgelöst nach [mm] x_k [/mm] ein unschöner Ausdruck:
[mm] x_k\le\bruch{g^{k+2}}{g^{k+3}-g^{k+2}-1}
[/mm]
Nun ist noch zu klären, wie sich das zur Aussage der Induktionsvoraussetzung verhält. Damit das Ergebnis taugt, müsste gelten:
[mm] \bruch{g^{k+2}}{g^{k+3}-g^{k+2}-1}\ge g+\bruch{1}{g^{k+1}}
[/mm]
Nach einigen Umformungen ergibt sich
[mm] \underbrace{g^{2k+3}}_{>0}\underbrace{(1-g^2+g)}_{=0}>\underbrace{(g-2)}_{<0}\underbrace{g^{k+2}}_{>0}-1
[/mm]
...oder eine andere Form einer wahren Aussage.
Was heißt das nun?
Der Induktionsschluss fordert hier eine Obergrenze für [mm] x_k, [/mm] die sicher erfüllt ist, weil die Induktionsvoraussetzung bereits eine kleinere Grenze vorgegeben hat. Für [mm] x_k>g [/mm] ist der Induktionsschritt also gelungen.
Ich bin sicher, dass sich für den anderen Fall, [mm] x_k
Viel Erfolg und wenig Rechenfehler! Ach was, am besten gar keine.
Nun hoffe ich nur, dass ich wenigstens meine inzwischen alle gefunden habe 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Reticella |
vielen, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Sa 15.11.2008 | | Autor: | dorix |
guten abend
vielen dank reverend...
bin gerad von der arbeit gekommen und werd mich nochmal an die aufgabe wagen.
wünsche noch einen schönen abend
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