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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 So 25.11.2007 | | Autor: | baxi |
| Aufgabe | | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass (n/6) + (n²/2) + (n³/3) für jedes n element N (n>=1) eine natürliche Zahl ergibt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss dann ja zuerst n=1 einsetzen, das ergibt eine natürliche Zahl. also ist der Induktionsanfang gemacht.
Induktionsschluss: k--> k+1
wie muss ich dann den beweis zeigen?
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Hallo baxi,
das geht eigentlich wie "immer" 
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ musst du zeigen, dass unter der
Induktionsvoraussetzung: [mm] $\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}=k\in\IN$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$
[/mm]
gefälligst auch [mm] $\frac{n+1}{6}+\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{(n+1)^3}{3}=l\in\IN$ [/mm] ist
Dazu forme [mm] $\frac{n+1}{6}+\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{(n+1)^3}{3}$ [/mm] um, so dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst:
[mm] $\frac{n+1}{6}+\frac{(n+1)^2}{2}+\frac{(n+1)^3}{3}=\left(\red{\frac{n}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{3}}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{2n+1}{2}+\frac{3n^2+3n+1}{3}\right)$
[/mm]
[mm] $=\red{k}+\left(\frac{1}{6}+\frac{2n+1}{2}+\frac{3n^2+3n+1}{3}\right)$
[/mm]
Die [mm] \red{rote} [/mm] Umformung gilt nach Induktionsvoraussetzung
Nun fasse die rechte Seite zusammen und alles löst sich in Wohlgefallen auf...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 25.11.2007 | | Autor: | baxi |
hallo schachuzipus ,
vielen dank für deine hilfe.
ich verstehe nur leider nicht wie du auf ((1/6) +((2n+1)/2) + ((3n²+3n+1)/3) kommst ? was multiplizierst du da aus?
und wie löst es sich auf????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 25.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> ich verstehe nur leider nicht wie du auf [mm] ((1/6)+((2n+1)/2)+((3n^2+3n+1)/3) [/mm] kommst ? was multiplizierst du da aus?
[mm] \blue{\frac{n+1}{6}}+\red{\frac{(n+1)^2}{2}}+\frac{(n+1)^3}{3}
[/mm]
[mm] =\blue{\bruch{n}{6}+\bruch{1}{6}}+\red{\bruch{n^2+2n+1}{2}}+\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{3}
[/mm]
Und dann einfach so umstellen, dass du die engültige Form von schachuzipus erhälst.
MfG barsch
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