impliziter Euler Verfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. sei das AWP: y''(t)-(4t-1)y'(t)=0, y(0)=2,y'(0)=1
REchne mit dem im impliziten Euler-Verfahren [mm] (y_{i+1}=y_i+hf(t_{i+1},y_{i+1})) [/mm] und der Schrittweite h=1/2 jeweils eine Approx. von y(1) und y'(1) |
moin,
ich lerne für die Klausur und habe folgende aufgabe, wobei ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann (bzw. das Verfahren generell) und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen
Lsg:
das DGL ". Ordnung wir in ein System 1. Ordnung überführt.
Setze [mm] z(t):=\vektor{z_1(t)\\z_2(t)}:=\vektor{y(t)\\y'(t)} [/mm] dann erhält man
[mm] z'(t)=\vektor{y'(t)\\y''(t)}=\vektor{y'(t)\\(4t-1)y'(t)}
[/mm]
Die äquvalente AWaufgabe lautet [mm] z'(t)=f(t,z(t))=\vektor{z_2\\(4t-1)z_2(t)} ,z(0)=\vektor{2\\1}
[/mm]
implizierte Euler verfahren: [mm] z^{j+1}=z^{j}+hf(t_j+h,z^{j+1})
[/mm]
Hier also [mm] z^{j+1}=z^j+h\underbrace{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & (4t_{j+1}y'(t)) }}_{\*}z^{j+1} \underbrace{\rightarrow}_{\*\*} \pmat{ 1 & -h \\ 0 & 1-h(4t_{j+1}y'(t)) }z^{j+1} =z^j
[/mm]
jezt verstehe ich nicht wie sie bei [mm] (\*) [/mm] zu die 1. Spalte [mm] \vektor{0\\0} [/mm] kommen. dann würde [mm] (\*) [/mm] auf die andere Seite gebracht,s.d [mm] x^j [/mm] alleine steh und zusammengefasst, aber wie geht dass wenn [mm] z^{j+1} [/mm] nur ein Vektor ist (oder nicht?!) bzw woher weiß man was [mm] z^{j+1} [/mm] s.d man es zusammenfassen kann.
ich hoffe meine Frage ist verständnis rübergekommen.
bzw könnt ihr mir den euler VErfahren anhand eines einfachen beipspiel erklären, ich stehe total auf dem schlauch.
gruß,
questonpeter
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Hallo questionpeter,
> Geg. sei das AWP: y''(t)-(4t-1)y'(t)=0, y(0)=2,y'(0)=1
>
> REchne mit dem im impliziten Euler-Verfahren
> [mm](y_{i+1}=y_i+hf(t_{i+1},y_{i+1}))[/mm] und der Schrittweite
> h=1/2 jeweils eine Approx. von y(1) und y'(1)
> moin,
>
> ich lerne für die Klausur und habe folgende aufgabe, wobei
> ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann (bzw. das
> Verfahren generell) und ich hoffe ihr könnt mir dabei
> helfen
>
> Lsg:
>
> das DGL ". Ordnung wir in ein System 1. Ordnung
> überführt.
>
> Setze [mm]z(t):=\vektor{z_1(t)\\z_2(t)}:=\vektor{y(t)\\y'(t)}[/mm]
> dann erhält man
>
> [mm]z'(t)=\vektor{y'(t)\\y''(t)}=\vektor{y'(t)\\(4t-1)y'(t)}[/mm]
>
> Die äquvalente AWaufgabe lautet
> [mm]z'(t)=f(t,z(t))=\vektor{z_2\\(4t-1)z_2(t)} ,z(0)=\vektor{2\\1}[/mm]
>
> implizierte Euler verfahren:
> [mm]z^{j+1}=z^{j}+hf(t_j+h,z^{j+1})[/mm]
>
> Hier also [mm]z^{j+1}=z^j+h\underbrace{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & (4t_{j+1}y'(t)) }}_{\*}z^{j+1} \underbrace{\rightarrow}_{\*\*} \pmat{ 1 & -h \\ 0 & 1-h(4t_{j+1}y'(t)) }z^{j+1} =z^j[/mm]
>
> jezt verstehe ich nicht wie sie bei [mm](\*)[/mm] zu die 1. Spalte
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm] kommen. dann würde [mm](\*)[/mm] auf die andere Seite
> gebracht,s.d [mm]x^j[/mm] alleine steh und zusammengefasst, aber wie
> geht dass wenn [mm]z^{j+1}[/mm] nur ein Vektor ist (oder nicht?!)
> bzw woher weiß man was [mm]z^{j+1}[/mm] s.d man es zusammenfassen
> kann.
>
Es ist doch:
[mm]z'(t)=f(t,z(t))=\vektor{z_2\\(4t-1)z_2(t)}=\vektor{0*z_{1}+z_{2} \\ 0*z_{1}+\left(4*t-1\right)*z_{2}}=\pmat{0 & 1 \\ 0 & 4*t-1}\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
Damit:
[mm]z^{j+1}=z_{j}+h*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 4*t_{j+1}-1}z^{j+1}[/mm]
mit [mm]z^{j}=\pmat{z_{1}^{j} \\ z_{2}^{j}}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}z^{j+1}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}z_{j}+h*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 4*t_{j+1}-1}z^{j+1}[/mm]
[mm]\gdw \left(\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}-h*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 4*t_{j+1}-1}\right)z^{j+1}==\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}z_{j}[/mm]
[mm]\gdw \left(\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}-\pmat{0 & h \\ 0 & h*\left(4*t_{j+1}-1\right)}\right)z^{j+1}==\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}z_{j}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{1 & -h \\ 0 & 1-h*\left(4*t_{j+1}-1\right)}z^{j+1}==\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}z_{j}[/mm]
> ich hoffe meine Frage ist verständnis rübergekommen.
>
> bzw könnt ihr mir den euler VErfahren anhand eines
> einfachen beipspiel erklären, ich stehe total auf dem
> schlauch.
>
> gruß,
> questonpeter
Gruss
MathePower
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