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Hallo,
ich habe so einige Probleme mit den impliziten Funktionen.
Es wäre prima, wenn ihr mir mit den zwei folgenden Beispielen helfen könntet.
1.)
Behauptung: Für genügend nahe bei 0 liegende x,y kann man die Gleichung
[mm] e^{sinxy}+x^2-2y-1=0
[/mm]
nach y auflösen.
Beweis:
Nach dem Satz über implizite Funktionen, muss ich dann doch zeigen, dass für (0,0) die Gleichung lösbar ist und die Determinante der Jacobimatrix in (0,0) davon berechnen (also zeigen, dass sie [mm] \not=0 [/mm] ist), oder?
[mm] e^{sin0}+0^2-2*0-1=1-1=0
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta y}(e^{sinxy}+x^2-2y-1)(0,0)=(e^{sinxy}cosxy [/mm] * x -2)(0,0)=-2
aber wie kann ich denn g(x)=y bestimmen?
2.) Behauptung: Für genügend nahe bei 1 liegende x,y,z kann man das Gleichungssystem
[mm] -2x^2+y^2+z^2=0
[/mm]
[mm] x^2+e^{y-1}-2y=0
[/mm]
durch stetige Funktionen y=g(x) und z=h(x) lösen. Und ich möchte noch die Ableitung von g und h angeben.
Da habe ich gar keine Ahnung... ich weiß so gar nicht wo ich die Funktionen herzaubern soll...
viele Grüße, dancingestrella
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Hallo dancingestrella,
zu 1) x = g(y)
[mm]g_{k + 1} \left( y \right)\; = \;g_k \left( y \right)\; - \;\left( {F_x \left( {x_0 ,\;y_0 } \right)} \right)^{ - 1} \;F\left( {g_k \left( y \right),\;y} \right)[/mm] mit [mm]g_{0} \left( {y_{0} } \right)\;: = \;x_{0}[/mm]
zu 2)
[mm]
F\left( {x,\;y,\;z} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 2x^{2} \; + \;y^{2} \; + \;z^{2} } \\
{x^{2} \; + \;e^{y\; - \;1} \; - \;2\;y} \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Dann gilt für die Ableitung der Funktion [mm]F\left( {x,\;g(x),\;h(x)} \right)\; = \;0[/mm] nach der Kettenregel ( y= g(x), z = h(x)):
[mm]F_{x} \; + \;F_{g} \;g_{x} \; + \;F_{h} \;h_{x} \; = \;0[/mm]
Für den Punkt [mm](x_{0} ,\;y_{0} ,\;z_{0} )[/mm] muß also gelten:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 4\;x_{0} \; + \;2\;y_{0} \;g_{x} \; + \;2\;z_{0} \;h_{x} } \\
{2\;x_{0} \; + \;\left( {e^{y_{0} \; - \;1} \; - \;2} \right)\;h_{x} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Dieses Gleichungsystem ist genau dann lösbar, wenn [mm]
2\;y_{0} \;\left( {e^{y_{0} \; - \;1} \; - \;2} \right)\; \ne \;0[/mm]
Hieraus erhältst Du dann die Werte für [mm]g_{x}[/mm] und [mm]h_{x}[/mm] am Punkt [mm](x_{0} ,\;y_{0} ,\;z_{0} )[/mm]
Gruß
MathePower
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