implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Do 10.08.2006 | | Autor: | Sandy857 |
| Aufgabe | Finden Sie Bedingungen an einen Punkt
[mm] (x_{1}^\*,x_{2}^\*,y_{1}^\*,y_{2}^\*) \in \IR^4, [/mm] so dass reellwertige Funktionen [mm] y_{1}=y_{1}(x_{1},x_{2}) [/mm] und [mm] y_{2}=y_{2}(x_{1},x_{2}) [/mm]
existieren, die nahe [mm] (x_{1}^\*,x_{2}^\*) \in \IR^2 [/mm] differenzierbar sind und die Gleichungen
[mm] x_{1}*y_{1}^2+x_{2}*y_{2}^2+x_{1}*x_{2}=9
[/mm]
[mm] x_{1}*y_{2}^2+x_{2}*y_{1}^2-x_{1}*x_{2}=7
[/mm]
erfüllen.
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Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.
Man muss auf jeden Fall den Satz über implizite Funktionen verwenden.
Weiter habe ich:
[mm] F(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})= \pmat{x_{1}*y_{1}^2+x_{2}*y_{2}^2+x_{1}*x_{2}-9\\ x_{1}*y_{2}^2+x_{2}*y_{1}^2-x_{1}*x_{2}-7}=\pmat{0\\0}
[/mm]
Aber wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Die Frage ist sehr dringend, da ich morgen die Klausur schreibe und gerade mit dem Satz über implizite Funktionen so meine Probleme habe.Vielen Dank für eure Mühe!
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Hallo Sandy,
du musst die Funktionalmatrix [mm] $D_y [/mm] F$ berechnen (in der die Ableitungen nach [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] stehen)bzw. deren Determinante. Ist die Determinante in einem Punkt ungleich 0, so ist die Matrix invertierbar und der Satz über implizite Funktionen greift.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 10.08.2006 | | Autor: | Sandy857 |
Also ich bekomme als Funktionalmatrix folgendes raus:
[mm] \pmat{ 2*x_{1}*y_{1} & 2*x_{2}*y_{1} \\ 2*x_{2}*y_{2} & 2*x_{1}*y_{2}}
[/mm]
Die Determinante lautet: [mm] 2*y_{1}*y_{2}(x_{1}^2-x_{2}^2)
[/mm]
die ist ungleich null, wenn [mm] y_{1},y_{2}\not=0 [/mm] und [mm] x_{1}\not=x_{2}
[/mm]
Wäre das soweit richtig? Müsste ich an dieser Stelle noch etwas zeigen?
Danke,Sandy
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> Also ich bekomme als Funktionalmatrix folgendes raus:
> [mm]\pmat{ 2*x_{1}*y_{1} & 2*x_{2}*y_{1} \\ 2*x_{2}*y_{2} & 2*x_{1}*y_{2}}[/mm]
>
> Die Determinante lautet: [mm]2*y_{1}*y_{2}(x_{1}^2-x_{2}^2)[/mm]
> die ist ungleich null, wenn [mm]y_{1},y_{2}\not=0[/mm] und
> [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm]
nicht ganz: [mm] $|x_1| \ne |x_2|$.
[/mm]
> Wäre das soweit richtig? Müsste ich an dieser Stelle noch
> etwas zeigen?
> Danke,Sandy
Sonst nix.
Matthias
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