implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 27.05.2008 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Sei F: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] definiert durch F(x,y) = [mm] y^{3} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \sin(y)
[/mm]
a) Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung U von (0,0) und eine auf U definierte Funktion [mm] \varphi, [/mm] so dass gilt: [mm] F(x,\varphi(x))=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U.
b) Berechnen Sie [mm] \varphi'(x) [/mm] als Funktion von x,y
c) Zeigen Sie, dass die durch F(x,y)=0 implizit definierte Funktion [mm] \varphi [/mm] eine kritische Stelle bei x=0 hat
d) Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] an dieser Stelle ein lokales Maximum hat. |
Hallo,
ich muss zugeben, dass ich leider nicht die gerinste Ahnung habe wie ich an die Aufgabe rangehen muss und deshalb hab ich das Gefühl, dass ich die komplette Aufgabe nicht kann. Also ich weiß, dass [mm] \varphi [/mm] eine implizite Funktion ist, aber da hört es auch schon auf... ich wäre echt glücklich, wenn mir jemand einen kleinen Ansatz geben würde...
lg Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei F: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] definiert durch F(x,y) = [mm]y^{3}[/mm] -
> [mm]x^{3}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\sin(y)[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Es gibt eine Umgebung U von (0,0) und eine
> auf U definierte Funktion [mm]\varphi,[/mm] so dass gilt:
> [mm]F(x,\varphi(x))=0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] U.
>
> b) Berechnen Sie [mm]\varphi'(x)[/mm] als Funktion von x,y
>
> c) Zeigen Sie, dass die durch F(x,y)=0 implizit definierte
> Funktion [mm]\varphi[/mm] eine kritische Stelle bei x=0 hat
>
> d) Zeigen Sie, dass [mm]\varphi[/mm] an dieser Stelle ein lokales
> Maximum hat.
> Hallo,
>
> ich muss zugeben, dass ich leider nicht die gerinste Ahnung
> habe wie ich an die Aufgabe rangehen muss und deshalb hab
> ich das Gefühl, dass ich die komplette Aufgabe nicht kann.
> Also ich weiß, dass [mm]\varphi[/mm] eine implizite Funktion ist,
> aber da hört es auch schon auf... ich wäre echt glücklich,
> wenn mir jemand einen kleinen Ansatz geben würde...
Diese Aufgabe ist eine Anwendung des ![[]](/images/popup.gif) Satzes über implizite Funktionen (siehe insbes. Beispiel 2).
Du musst nur die Voraussetzungen überprüfen und die Folgerungen einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Elfe |
Danke schonmal!!
> Diese Aufgabe ist eine Anwendung des
> Satzes über implizite Funktionen
> (siehe insbes. Beispiel 2).
>
> Du musst nur die Voraussetzungen überprüfen und die
> Folgerungen einsetzen.
okay, ich hab es versucht und als impliziert definierte Funktion
[mm] \varphi'(x) [/mm] = [mm] \bruch{3x^{2}-2x}{3y^{2}+\cos(y)}
[/mm]
raus. ist das so richtig?
Und dann habe ich damit die c) versucht. Für einen kritische Stelle muss ja gelten, dass die Ableitung an dieser Stelle = 0 ist.
[mm] \varphi'(0) [/mm] = [mm] \bruch{3*0^{2}-2*0}{3y^{2}+\cos(y)} [/mm] = 0
ist damit die c schon erledigt?
lg Elfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Elfe!
> Danke schonmal!!
> > Diese Aufgabe ist eine Anwendung des
> >
> Satzes über implizite Funktionen
> > (siehe insbes. Beispiel 2).
> >
> > Du musst nur die Voraussetzungen überprüfen und die
> > Folgerungen einsetzen.
>
> okay, ich hab es versucht und als impliziert definierte
> Funktion
> [mm]\varphi'(x)[/mm] = [mm]\bruch{3x^{2}-2x}{3y^{2}+\cos(y)}[/mm]
> raus. ist das so richtig?
Das habe ich auch heraus.
Allerdings finde ich die Aufgabenstellung ein bischen merkwürdig. Links steht etwas, was nur von x abhängt, rechts x und y. Genaugenommen sind x und y über die Beziehung [mm] $y=\varphi(x)$ [/mm] verknüpft, das heisst
[mm] \varphi'(x) = \bruch{3x^{2}-2x}{3\varphi(x)^{2}+\cos\varphi(x)}[/mm]
Das solltest du beim Satz über implizite Funktionen immer im Hinterkopf behalten.
> Und dann habe ich damit die c) versucht. Für einen
> kritische Stelle muss ja gelten, dass die Ableitung an
> dieser Stelle = 0 ist.
>
> [mm]\varphi'(0)[/mm] = [mm]\bruch{3*0^{2}-2*0}{3y^{2}+\cos(y)}[/mm] = 0
>
> ist damit die c schon erledigt?
Du musst noch überprüfen, dass der Nenner nicht 0 ist. (Deswegen meine Bemerkung zur b)
Das ist aber kein Problem: nach Voraussetzung starten wir von der Stelle $(x,y)=(0,0)$, [mm] $\varphi(0)=0$, [/mm] also ist der Nenner gleich 1.
Viele Grüße
Rainer
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