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| Aufgabe | | Sei U [mm] \in \IR^n, [/mm] f : U [mm] \to \IR [/mm] stetig differenzierbar und a [mm] \in \IR [/mm] ein Wert mit Df(p) [mm] \not= [/mm] 0 für alle p [mm] \in f^{-1}({a}). [/mm] Zeige, dass es zu jedem p [mm] \in f^{-1}({a}) [/mm] eine offene Umgebung W [mm] \subset [/mm] U gibt, sodass [mm] f^{-1}({a}) \cap [/mm] W der Grap einer [mm] C^1 [/mm] - Funktion ist. Was ergibt sich für f(p) = [mm] ||p||^2 [/mm] und a > 0? |
ganz ehrlich, wenn ich diese Aufgabe sehe würd ich am liebsten alles hinschmeissen -.- Ich hasse dieses Thema Implizite Funktionen/ Inverse Funktionen -.- . Meine einzige Frage erstmal:
Was genau soll ich eigentlich zeigen? Bijektivität? Oder nur Surjektivität?
oder was ganz Anderes?
Mfg,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Di 12.06.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei U [mm]\in \IR^n,[/mm] f : U [mm]\to \IR[/mm] stetig differenzierbar und
> a [mm]\in \IR[/mm] ein Wert mit Df(p) [mm]\not=[/mm] 0 für alle p [mm]\in f^{-1}({a}).[/mm]
> Zeige, dass es zu jedem p [mm]\in f^{-1}({a})[/mm] eine offene
> Umgebung W [mm]\subset[/mm] U gibt, sodass [mm]f^{-1}({a}) \cap[/mm] W der
> Grap einer [mm]C^1[/mm] - Funktion ist. Was ergibt sich für f(p) =
> [mm]||p||^2[/mm] und a > 0?
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> ganz ehrlich, wenn ich diese Aufgabe sehe würd ich am
> liebsten alles hinschmeissen -.- Ich hasse dieses Thema
> Implizite Funktionen/ Inverse Funktionen -.- . Meine
> einzige Frage erstmal:
> Was genau soll ich eigentlich zeigen? Bijektivität? Oder
> nur Surjektivität?
Die Existenz einer Menge $W$ mit obigen EIgenschaften. Dazu scheint mir der Satz ueber implizite Funktionen geeignet.
>
> oder was ganz Anderes?
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> Mfg,
>
> Eve
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> > Sei U [mm]\in \IR^n,[/mm] f : U [mm]\to \IR[/mm] stetig differenzierbar und
> > a [mm]\in \IR[/mm] ein Wert mit Df(p) [mm]\not=[/mm] 0 für alle p [mm]\in f^{-1}({a}).[/mm]
> > Zeige, dass es zu jedem p [mm]\in f^{-1}({a})[/mm] eine offene
> > Umgebung W [mm]\subset[/mm] U gibt, sodass [mm]f^{-1}({a}) \cap[/mm] W der
> > Grap einer [mm]C^1[/mm] - Funktion ist. Was ergibt sich für f(p) =
> > [mm]||p||^2[/mm] und a > 0?
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> > ganz ehrlich, wenn ich diese Aufgabe sehe würd ich am
> > liebsten alles hinschmeissen -.- Ich hasse dieses Thema
> > Implizite Funktionen/ Inverse Funktionen -.- . Meine
> > einzige Frage erstmal:
> > Was genau soll ich eigentlich zeigen? Bijektivität?
> Oder
> > nur Surjektivität?
> Die Existenz einer Menge [mm]W[/mm] mit obigen EIgenschaften. Dazu
> scheint mir der Satz ueber implizite Funktionen geeignet.
> >
huhu,
also ich soll zeigen, dass [mm] f^{-1}({a}) \cap [/mm] W ein Graph der [mm] C^1 [/mm] Funktion ist. aber ganz ehrlich, der Satz der impliziten Funktionen sagt nicht wirklich viel über Umgebungen aus, sondern eher über die Auflösbarkeit von Funktionen nach variablen..
Ich denke, durch die Vor kann ich annehmen, dass die Jacobideterminante ungleich Null ist oder?
ich versteh trotzdem nicht, wie oder was genau ich zeigen soll.. wie zeige ich dass der graph der graph einer einmal diffbaren Funktion ist? Wieso kann sie nicht zweimal diffbar sein??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hippias |
$Df$ ist hier keine Matrix, sondern ein Vektor. Sei oBdA [mm] $f^{-1}(a)\neq\emptyset$ [/mm] und [mm] $D_{n}f(p)\neq [/mm] 0$. Bringen das Problem in eine Form, die es fuer den Satz ueber die implizite Funktion zugaenglich macht. Ich fasse $f$ als Funktion [mm] $f:U_{1}\times U_{2}\to \IR$ [/mm] auf, wobei [mm] $U_{1}\subseteq \IR^{n-1}$ [/mm] offen und [mm] $U_{2}\subseteq \IR$ [/mm] offen, wobei $p':= [mm] (p_{1},\ldots, p_{n-1})\in U_{1}$ [/mm] und [mm] $p_{n}\in U_{2}$ [/mm] gilt. Wieso geht das?
Nun definiere ich $F: [mm] U_{1}\times U_{2}\to \IR$ [/mm] durch [mm] $x\mapsto [/mm] f(x)-a$. Damit gilt $F(p', [mm] p_{n})=0$ [/mm] und $F$ ist stetig differenzierbar und [mm] $D_{n}F(p',p_{n})= D_{n}f(p)\neq [/mm] 0$ nach Voraussetzung.
Nach dem Satz ueber die implizite Funktion gibt es offene [mm] $p'\in X\subseteq U_{1}$, $p_{n}\in Y\subseteq U_{2}$ [/mm] und eine stetig differenzierbare Funktion [mm] $g:X\to [/mm] Y$ mit $g(p')= [mm] p_{n}$ [/mm] und $f(x,g(x))= a$ fuer alle [mm] $x\in [/mm] U$.
Betrachte die Abbildung [mm] $G:X\to f^{-1}(a)$ [/mm] mit [mm] $x\mapsto [/mm] (x,g(x))$, die offenbar [mm] $C^{1}$ [/mm] ist. Setze $W:= [mm] U\times Y\subseteq \IR^{n}$ [/mm] offen. Wieso gilt [mm] $p\in [/mm] W$?
Nach Konstruktion ist $Bild [mm] G\subseteq f^{-1}(a)\cap [/mm] W$. Ist umgekehrt [mm] $(x,y)\in [/mm] W$, also $f(x,y)= a$ und [mm] $y\in [/mm] Y$, so gilt also $F(x,y)= 0$. Nach dem Satz ueber die impl. Funktion ist die Loesung von $F(x,y)= 0$ fuer festes [mm] $x\in [/mm] U$ eindeutig bestimmt, sodass $y= g(x)$ folgt(?). Daher ist $(x,y)= [mm] (x,g(x))\in [/mm] Bild G$.
Hoffe mal, das stimmt so etwa.
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boah.. super vielen Dank!
Ich verstehe sogar fast alles, nur die ideen vor allem Hilfsfunktion und so kommen mir nie ;/
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