implizite Differentiation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 31.03.2010 | | Autor: | Chuck86 |
Hi,
ich schreibe grade meine Bachelorarbeit in Numerik und hab ein Paper mit folgenden Satz:
[mm] $\omega(b_0)$ [/mm] erfülle die Diophantine-Bedingung. [mm] $r(\varphi, [/mm] b)$ sei eine skalare Funktion, analytisch auf einem komplexen Gebiet in [mm] $\mathbb{T}^d \times \{b_0\}$, [/mm] die $0 < [mm] r_0 \le r(\varphi, b_0) \le R_0$ erf"ullt.\\
[/mm]
Dann erfüllt die Lösung der Differentialgleichung
[mm] \begin{equation*}
\varphi' = r(\varphi, b_0)\omega(b_0)
\end{equation*}
[/mm]
[mm] $\varphi(\tau) [/mm] = [mm] \varphi_0 [/mm] + [mm] \sigma(\tau)\omega(b_0)$ [/mm] wobei [mm] $\sigma(\tau)$ [/mm] eine monoton ansteigende Funktion bezeichnet mit [mm] $\sigma(0) [/mm] = 0$ die für [mm] $\tau \to \infty$ [/mm] folgende Eigenschaften besitzt:
[mm] \begin{equation*}
\sigma(\tau) = O(\tau), \hspace{1cm} \frac{\partial \sigma(\tau)}{\partial \varphi_0} = O(1), \hspace{1cm} \frac{\partial \sigma(\tau)}{\partial b_0} = O(\tau)
\end{equation*}
[/mm]
Also den Teil dass [mm] $\sigma(\tau) [/mm] = [mm] O(\tau)$ [/mm] war nicht so das Problem.
Aber bei der Differentiation nach [mm] $\tau$ [/mm] da hakts. Es geht los, dass man sich die DGL für [mm] $\sigma$ [/mm] betrachtet und nach Trennung der Variablen hat man
[mm] \begin{equation*}
\int_{0}^{\sigma(\tau)} \frac{d\sigma}{r(\varphi_0 + \sigma\omega(b_0), b_0)} = \tau
\end{equation*}
[/mm]
Dann soll man implizit Differenzieren und
[mm] \begin{equation*}
\frac{\partial \sigma(\tau)}{\partial \varphi_0} \cdot \frac{1}{r(\varphi_0 + \sigma(\tau)\omega(b_0), b_0)}
+ \int_0^{\sigma(\tau)} \frac{\partial}{\partial \varphi_0}\left(\frac{1}{r(\varphi_0 + \sigma \omega(b_0), b_0)}\right)\hspace{2mm}d\sigma = 0
\end{align*}
[/mm]
erhalten. Da komm ich dann nicht mehr mit.
Bin für jede Hilfe dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 01.04.2010 | | Autor: | gfm |
Ich komme total nicht klar mit den Definitionen der einzelnen Größen. Kannst Du das Paper mal einscannen oder einen Link posten.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Do 01.04.2010 | | Autor: | Chuck86 |
Hier ist das Paper.
http://www.unige.ch/~hairer/preprints/revstep.pdf
Meine Frage bezieht sich auf Lemma 4.3 Seite 1848
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 01.04.2010 | | Autor: | gfm |
Fred hat alles gesagt... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Do 01.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Es steckt folgendes dahinter (alle vorkommenden Funktionen seien differenzierbar):
Nimm an, Du hast eine Funktion f von 2 Variablen und eine Funktion [mm] \sigma. [/mm] Damit
sei
$H(x):= [mm] \integral_{0}^{\sigma(x)}{f(x,t) dt}$
[/mm]
Dann:
$H'(x) = [mm] f(x,\sigma(x))*\sigma'(x) +\integral_{0}^{\sigma(x)}{f_x(x,t) dt}$
[/mm]
Beweis: Setze $F(x,y):= [mm] \integral_{0}^{y}{f(x,t) dt}$
[/mm]
Dann:
(1) $ [mm] F_x [/mm] = [mm] \integral_{0}^{y}{f_x(x,t) dt}$
[/mm]
(2) [mm] $F_y= [/mm] f(x,t)$
und
(3) $H(x) = F(x, [mm] \sigma(x))$
[/mm]
Zur Bestimmung von H' differenziere in (3) auf der rechten Seite mit der Kettenregel:
$H'(x) = [mm] F_x(x, \sigma(x))*1+ F_y(x, \sigma(x))*\sigma'(x))$
[/mm]
Wende nun (1) und (2) an und Du hast die Behauptung.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Do 01.04.2010 | | Autor: | Chuck86 |
Vielen Dank.
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