impliziteFunktion>Kegelschnitt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 30.11.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Graphen folgender impliziten "Funktion":
[mm] 3x^2-2xy+3y^2-2*\sqrt{2}*x-2*\sqrt{2}*y=0 [/mm] |
Also ich hab da ja eine Funktion der Form:
[mm] ax+bxy+cy^2-dx-ex+f=0
[/mm]
und da vermute ich, dass das eine Kegelschnittgleichung ist.
[mm] b\not=0 [/mm] Der gemischte Term xy tritt auf, also dreh ich jetzt das Koordinatensystem um einen WInkel [mm] \alpha [/mm] um ein u,v Koordinatensystem zu erhalten:
[mm] \alpha=45° [/mm] für a=c (3=3)
[mm] x=u*cos(45°)-v*sin(45°)=\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v
[/mm]
[mm] y=u*sin(45°)+v*cos(45°)=\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \gdw 3*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)^2
[/mm]
[mm] -2*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)
[/mm]
[mm] +3*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)
[/mm]
[mm] -2*\sqrt{2}(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)
[/mm]
[mm] -2*\sqrt{2}(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*(\bruch{2}{4}*u^2-u*v+\bruch{2}{4}*v^2)
[/mm]
[mm] -2*(\bruch{2}{4}*u^2-\bruch{2}{4}*v^2)
[/mm]
[mm] 3*(\bruch{2}{4}*u^2+u*v+\bruch{2}{4}*v^2)
[/mm]
-2u+2v
-2u-2v=0
[mm] \gdw \bruch{3}{2}*u^2-3*u*v+\bruch{3}{2}*v^2-u^2-v^2+\bruch{3}{2}*u^2+3*u*v+\bruch{3}{2}*v^2-4u=0
[/mm]
[mm] \gdw 2*u^2+2*v^2-4*u
[/mm]
[mm] \gdw 2*(u^2-2*u)+2*v^2=0
[/mm]
[mm] \gdw 2*(u^2-2*u+1-1)+2*v^2=0
[/mm]
[mm] \gdw 2*(u-1)^2-2+2*v^2=0
[/mm]
[mm] \gdw (u-1)^2+v^2=1
[/mm]
[mm] \gdw (u-1)^2+(v-0)^2=1^2
[/mm]
und dann habe ich im u,v Koordinatensystem einen Kreis mit Mittelpunkt (1/0) und dem Radius r=1...
Stimmt das soweit?
Danke und besten Gruß,
tedd
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hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Graphen folgender impliziten "Funktion":
> [mm]3x^2-2xy+3y^2-2*\sqrt{2}*x-2*\sqrt{2}*y=0[/mm]
> Also ich hab da ja eine Funktion der Form:
> [mm]ax+bxy+cy^2-dx-ex+f=0[/mm]
> und da vermute ich, dass das eine Kegelschnittgleichung
> ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig !
>
> [mm]b\not=0[/mm] Der gemischte Term xy tritt auf, also dreh ich
> jetzt das Koordinatensystem um einen WInkel [mm]\alpha[/mm] um ein
> u,v Koordinatensystem zu erhalten:
>
> [mm]\alpha=45°[/mm] für a=c (3=3)
>
> [mm]x=u*cos(45°)-v*sin(45°)=\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v[/mm]
>
> [mm]y=u*sin(45°)+v*cos(45°)=\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v[/mm]
>
> eingesetzt:
>
> [mm]\gdw 3*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)^2[/mm]
>
> [mm]-2*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)[/mm]
> [mm]+3*(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)[/mm] hier fehlt der Exponent
> [mm]-2*\sqrt{2}(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u-\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)[/mm]
>
> [mm]-2*\sqrt{2}(\bruch{\sqrt{2}}{2}*u+\bruch{\sqrt{2}}{2}*v)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw 3*(\bruch{2}{4}*u^2-u*v+\bruch{2}{4}*v^2)[/mm]
>
> [mm]-2*(\bruch{2}{4}*u^2-\bruch{2}{4}*v^2)[/mm]
> [mm]3*(\bruch{2}{4}*u^2+u*v+\bruch{2}{4}*v^2)[/mm]
> -2u+2v
> -2u-2v=0
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{2}*u^2-3*u*v+\bruch{3}{2}*v^2-u^2\red{-v^2}+\bruch{3}{2}*u^2+3*u*v+\bruch{3}{2}*v^2-4u=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") müsste [mm] +v^2 [/mm] sein !
>
> [mm]\gdw 2*u^2+2*v^2-4*u[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*(u^2-2*u)+2*v^2=0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*(u^2-2*u+1-1)+2*v^2=0[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*(u-1)^2-2+2*v^2=0[/mm]
>
> [mm]\gdw (u-1)^2+v^2=1[/mm]
>
> [mm]\gdw (u-1)^2+(v-0)^2=1^2[/mm]
>
> und dann habe ich im u,v Koordinatensystem einen Kreis mit
> Mittelpunkt (1/0) und dem Radius r=1...
>
> Stimmt das soweit?
Die Änderung hat zur Folge, dass man nicht einen Kreis,
sondern eine Ellipse erhält.
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 So 30.11.2008 | | Autor: | tedd |
Hey danke Al-Chwarizmi! 
Habe mit korrektur dann:
[mm] \bruch{(u-1)^2}{1}+\bruch{(v-0)^2}{\bruch{1}{2}}=1 [/mm] raus.
Der GRaph lässt sich dann ja leicht zeichnen :)
Gruß,
tedd
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