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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Kurve
[mm] x^5+y^5-2xy=0
[/mm]
im Punkt (1,1) |
Hallo!
Das ganze geht mit impliziten Differenzieren / impliziten Ableiten:
Ersetze y durch y(x):
[mm] x^5+(y(x))^5-2x(y(x))=0
[/mm]
=>
[mm] 5x^4+5*(y(x))^4*(y'(x))-2x(y'(x))-2(y(x))=0
[/mm]
=>
[mm] (y'(x))=(-5x^4+2(y(x))) [/mm] / [mm] (5*(y(x))^4-2x)
[/mm]
Und dann den Punkt (x=1,y(x)1) einsetzen ergibt -1 als Ergebnis.
Soweit sollte das richtig sein, aber jetzt zur eigentlichen Frage:
Ich habe leider nur das eigentliche Rechenschema dahinter verstanden, frage mich nun aber, 1.) warum ich damit genau die Steigung der Tangente ausgerechnet habe?
Und 2.) warum darf ich einfach so annehmen, dass es eine Funktion y(x) gibt, mit der ich das y ersetzen kann?
Wäre echt super, wenn mir jemand helfen könnte!
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> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Kurve
>
> [mm]x^5+y^5-2xy=0[/mm]
>
> im Punkt (1,1)
> Hallo!
>
> Das ganze geht mit impliziten Differenzieren / impliziten
> Ableiten:
>
> Ersetze y durch y(x):
>
> [mm]x^5+(y(x))^5-2x(y(x))=0[/mm]
> =>
> [mm]5x^4+5*(y(x))^4*(y'(x))-2x(y'(x))-2(y(x))=0[/mm]
> =>
> [mm](y'(x))=(-5x^4+2(y(x)))[/mm] / [mm](5*(y(x))^4-2x)[/mm]
>
> Und dann den Punkt (x=1,y(x)1) einsetzen ergibt -1 als
> Ergebnis.
>
> Soweit sollte das richtig sein, aber jetzt zur eigentlichen
> Frage:
>
>
> Ich habe leider nur das eigentliche Rechenschema dahinter
> verstanden, frage mich nun aber, 1.) warum ich damit genau
> die Steigung der Tangente ausgerechnet habe?
> Und 2.) warum darf ich einfach so annehmen, dass es eine
> Funktion y(x) gibt, mit der ich das y ersetzen kann?
Hallo Laura,
ich denke, dass deine zweite Frage die Hauptfrage ist.
Wenn nämlich die gegebene Gleichung im Prinzip
nach y auflösbar ist (wenigstens in einer Umgebung
des gegebenen Punktes), ist natürlich das implizite
Ableiten mittels der üblichen Ableitungsregeln inkl.
Kettenregel eine zuläßige Methode, um die Ableitung
y'(x) zu berechnen. Im vorliegenden Beispiel funktio-
niert dies ja ausgezeichnet.
Zur Beantwortung deiner zweiten Frage muss man wohl
den ![[]](/images/popup.gif) Satz von der impliziten Funktion sowie die
Jacobi-Matrix beiziehen.
Wenn man den Graph der vorliegenden Gleichung
betrachtet, zeigt sich die Problematik deutlich. Die
Gleichung ist nämlich keineswegs in jedem kleinen
x-Intervall eindeutig nach y auflösbar. Trotzdem
ist der Graph in einer kleinen 2-D-Umgebung des
Punktes [mm] P_0(1/1) [/mm] durch einen monoton fallenden
Funktionsgraphen y=y(x) ersetzbar, mit y'(x)=-1 .
In gewissen anderen Punkten ist jedoch y'(x) nicht
definiert - obwohl wenigstens in einem dieser
Punkte trotzdem eine Tangente existiert.
LG Al-Chw.
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Hallo!
Danke erstmal, aber ich denke dass der Satz über impl. Fkten. doch leider etwas über mein (Vor)Wissen hinaus geht - die erste Frage hat mich eigentlich mehr interessiert 
Ich befinde mich nämlich erst im ersten Semester (wir machen gerade eindimensionales Differenzieren) - und das implizite Differenzieren wurde auch nur kurz eingeführt, damit wird wir bei solchen einfach gebauten Funktionen (in 2 Variablen) wenigstens erstmal die Ableitung bzw Tangensteigung bestimmen können.
Eine anschauliche Erklärung hätte mir deshalb auch erstmal gereicht - aber woher sollst du das denn wissen? Ich bin dir ja trotzdem wirklich sehr sehr dankbar, und hoffe dass ich dich damit jetzt nicht verprellt habe!
Es wäre also weiterhin sehr nett, wenn du oder jemand anders hier, mir kurz bestätigen könnte, ob Folgendes richtig ist:
(So habe ich mir jetzt dieses Thema erklärt und hoffentlich verstanden)
Also, ich habe hier bei dieser Aufgabe einen Funktion F(x,y)=0.
In diesem Fall existiert dann eine Funktion g(x)=y die auf einer Umgebung um den Punkt P=(1,1) mit meiner Funktion F übereinstimmt.
Will ich also nun die Tangetensteigung von F in diesen Punkt haben, reicht es, wenn ich die Ableitung von g suche, indem ich das entsprechend in die Gleichung für F einsetze und nach g' auflöse.
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Danke erstmal, aber ich denke dass der Satz über impl.
> Fkten. doch leider etwas über mein (Vor)Wissen hinaus geht
> - die erste Frage hat mich eigentlich mehr interessiert
> Ich befinde mich nämlich erst im ersten Semester (wir
> machen gerade eindimensionales Differenzieren) - und das
> implizite Differenzieren wurde auch nur kurz eingeführt,
> damit wird wir bei solchen einfach gebauten Funktionen (in
> 2 Variablen) wenigstens erstmal die Ableitung bzw
> Tangensteigung bestimmen können.
>
> Eine anschauliche Erklärung hätte mir deshalb auch
> erstmal gereicht - aber woher sollst du das denn wissen?
> Ich bin dir ja trotzdem wirklich sehr sehr dankbar, und
> hoffe dass ich dich damit jetzt nicht verprellt habe!
>
>
> Es wäre also weiterhin sehr nett, wenn du oder jemand
> anders hier, mir kurz bestätigen könnte, ob Folgendes
> richtig ist:
> (So habe ich mir jetzt dieses Thema erklärt und
> hoffentlich verstanden)
>
>
> Also, ich habe hier bei dieser Aufgabe einen Funktion
> F(x,y)=0.
> In diesem Fall existiert dann eine Funktion g(x)=y die auf
> einer Umgebung um den Punkt P=(1,1) mit meiner Funktion F
> übereinstimmt.
Du meinst also F(x,g(x)) = 0 für x in einer Umgebung von 1 und g(1)= 1 ?
> Will ich also nun die Tangetensteigung von F in diesen
> Punkt haben, reicht es, wenn ich die Ableitung von g suche,
> indem ich das entsprechend in die Gleichung für F einsetze
> und nach g' auflöse.
> Ist das korrekt?
Ich glaube, Du meinst das richtige. Zur Kontrolle mach das mal mit F(x,y) = [mm] x+y^2-2
[/mm]
FRED
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Hallo!
Danke erstmal für die Antwort!
> >
> > Es wäre also weiterhin sehr nett, wenn du oder jemand
> > anders hier, mir kurz bestätigen könnte, ob Folgendes
> > richtig ist:
> > (So habe ich mir jetzt dieses Thema erklärt und
> > hoffentlich verstanden)
> >
> >
> > Also, ich habe hier bei dieser Aufgabe einen Funktion
> > F(x,y)=0.
> > In diesem Fall existiert dann eine Funktion g(x)=y die auf
> > einer Umgebung um den Punkt P=(1,1) mit meiner Funktion F
> > übereinstimmt.
>
> Du meinst also F(x,g(x)) = 0 für x in einer Umgebung von 1
> und g(1)= 1 ?
>
ich glaube das meine ich, ja
>
> > Will ich also nun die Tangetensteigung von F in diesen
> > Punkt haben, reicht es, wenn ich die Ableitung von g suche,
> > indem ich das entsprechend in die Gleichung für F einsetze
> > und nach g' auflöse.
> > Ist das korrekt?
>
> Ich glaube, Du meinst das richtige.
Wie gesagt, ich will eben -anschaulich!- verstehen, warum
1.) ich das y durch ein g(x) ersetzen darf und
2.) warum dann auch die Ableitung von g (in einem bestimmten gegebenen Punkt P) die Tangentensteigung von F ist.
Meine Vermutungen sind daher:
1.) Weil es (aus welchen Gründen auch immer) so eine Funktion g mit g(x)=y gibt, die auch noch mit F auf einer kleinen Umgebung um P übereinstimmt.
2.) Weil ja g bei P mit F übereinstimmt haben da auch beide Funktionen dieselbe Ableitung / Tangentsteigung
> Zur Kontrolle mach das
> mal mit F(x,y) = [mm]x+y^2-2[/mm]
>
=>
[mm] x+(g(x))^2-2=0
[/mm]
ableiten =>
1+2(g(x))(g'(x))=0
=>
g'(x)=-1/(2(g(x)))
Wäre also die Tangentsteigung.
Das ganze im Punkt (1,1) wäre dann -1/2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Danke erstmal für die Antwort!
>
> > >
> > > Es wäre also weiterhin sehr nett, wenn du oder jemand
> > > anders hier, mir kurz bestätigen könnte, ob
> Folgendes
> > > richtig ist:
> > > (So habe ich mir jetzt dieses Thema erklärt und
> > > hoffentlich verstanden)
> > >
> > >
> > > Also, ich habe hier bei dieser Aufgabe einen Funktion
> > > F(x,y)=0.
> > > In diesem Fall existiert dann eine Funktion g(x)=y die auf
> > > einer Umgebung um den Punkt P=(1,1) mit meiner Funktion F
> > > übereinstimmt.
> >
> > Du meinst also F(x,g(x)) = 0 für x in einer Umgebung von 1
> > und g(1)= 1 ?
> >
>
> ich glaube das meine ich, ja
>
> >
> > > Will ich also nun die Tangetensteigung von F in diesen
> > > Punkt haben, reicht es, wenn ich die Ableitung von g suche,
> > > indem ich das entsprechend in die Gleichung für F einsetze
> > > und nach g' auflöse.
> > > Ist das korrekt?
> >
> > Ich glaube, Du meinst das richtige.
>
>
> Wie gesagt, ich will eben -anschaulich!- verstehen, warum
> 1.) ich das y durch ein g(x) ersetzen darf und
> 2.) warum dann auch die Ableitung von g (in einem
> bestimmten gegebenen Punkt P) die Tangentensteigung von F
> ist.
>
> Meine Vermutungen sind daher:
>
> 1.) Weil es (aus welchen Gründen auch immer) so eine
> Funktion g mit g(x)=y gibt, die auch noch mit F auf einer
> kleinen Umgebung um P übereinstimmt.
> 2.) Weil ja g bei P mit F übereinstimmt haben da auch
> beide Funktionen dieselbe Ableitung / Tangentsteigung
>
>
> > Zur Kontrolle mach das
> > mal mit F(x,y) = [mm]x+y^2-2[/mm]
> >
>
> =>
> [mm]x+(g(x))^2-2=0[/mm]
> ableiten =>
> 1+2(g(x))(g'(x))=0
> =>
> g'(x)=-1/(2(g(x)))
> Wäre also die Tangentsteigung.
> Das ganze im Punkt (1,1) wäre dann -1/2
alles Bestens
FRED
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> Also, ich habe hier bei dieser Aufgabe eine Funktion
> F(x,y)=0.
> In diesem Fall existiert dann eine Funktion g(x)=y die auf
> einer Umgebung um den Punkt P=(1,1) mit meiner Funktion F
> übereinstimmt.
> Will ich also nun die Tangetensteigung von F in diesen
> Punkt haben, reicht es, wenn ich die Ableitung von g suche,
> indem ich das entsprechend in die Gleichung für F einsetze
> und nach g' auflöse.
> Ist das korrekt?
Hallo Laura,
Fred hat dir inzwischen ja geantwortet. Du solltest
dir nur bewusst machen, dass diese Methode nicht
immer funktioniert.
Am besten betrachtest du dir den Graph deiner
Gleichung einmal. Du kannst ihn z.B. erzeugen,
wenn du in Wolfram Alpha eingibst:
plot [mm] x^5+y^5-2*x*y=0 [/mm] , x=-2..2 , y= -2..2
Der schleifenförmige Graph hat z.B. in O(0/0) , wo
er sich selber überkreuzt, keine bestimmte und in
einem weiteren Punkt [mm] Q\approx(1.06636/0.808148) [/mm] eine vertikale
Tangente. Weder in O noch in Q wird also das Verfahren
eine Tangentensteigung liefern können.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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