impl. Fktn. Ableitung n. 2 Var < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 06.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
| Aufgabe | | Die Gleichung [mm] x_{1}^{2}*y^{2}+y*e^{-x_{2}} [/mm] = [mm] x_{1}*x_{2}+2 [/mm] definiert y implizit als Funktion der Variablen x1,x2. Berechnen Sie y'(1,0) ! |
hallo,
ich habe die Aufgabe schon gerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob ich richtig mit dem Problem, dass ich zwei Variablen, [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}, [/mm] zu berücksichtigen habe, umgegangen bin. Hier mal meine Rechenschritte:
1. Gleichung umformen,dass auf der rechten Seite 0 steht und dann y(1,0) einsetzen:
[mm] y^{2} [/mm] + y - 2 = 0 [mm] \gdw [/mm] y=-2 v y =1
2.Bilden der partiellen Ableitungen
[mm] D_{x_{1}}F(x_{1},x_{2},y) [/mm] = [mm] 2x_{1}*y-x_{2}
[/mm]
[mm] D_{x_{2}}F(x_{1},x_{2},y) [/mm] = [mm] -y*e^{-x_{2}}-x_{1}
[/mm]
[mm] D_{y}F(x_{1},x_{2},y) [/mm] = [mm] 2x_{1}^{2}*y+e^{-x_{2}}
[/mm]
3. impliziten Funktionensatz anwenden
!!! Hier meine Unsicherheit und Nachfrage nach Korrektheit, ich habe diesen Satz bisher nur angewendet bei einer Variablen x und nicht bei [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] !!!
[mm] y'(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{(2x_{1}*y-x_{2} , -y*e^{-x_{2}}-x_{1})}{(2 x_{1}^{2}*y+e^{-x_{2}})}
[/mm]
4.
a) y=1 in y'(1,0) benutzen: [mm] \bruch{(2, -2)}{3} [/mm] = [mm] (\bruch{2}{3}, \bruch{-2}{3})
[/mm]
b) analog mit y=-2
Meine Frage also: Ist das ganze ab Schritt 3 bis Ende richtig ???
danke
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Hallo PiPchen,
> Die Gleichung [mm]x_{1}^{2}*y^{2}+y*e^{-x_{2}}[/mm] = [mm]x_{1}*x_{2}+2[/mm]
> definiert y implizit als Funktion der Variablen x1,x2.
> Berechnen Sie y'(1,0) !
> hallo,
>
> ich habe die Aufgabe schon gerechnet, bin mir aber nicht
> sicher, ob ich richtig mit dem Problem, dass ich zwei
> Variablen, [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2},[/mm] zu berücksichtigen habe,
> umgegangen bin. Hier mal meine Rechenschritte:
>
> 1. Gleichung umformen,dass auf der rechten Seite 0 steht
> und dann y(1,0) einsetzen:
>
> [mm]y^{2}[/mm] + y - 2 = 0 [mm]\gdw[/mm] y=-2 v y =1
>
> 2.Bilden der partiellen Ableitungen
>
> [mm]D_{x_{1}}F(x_{1},x_{2},y)[/mm] = [mm]2x_{1}*y-x_{2}[/mm]
Hier muß es doch lauten:
[mm]D_{x_{1}}F(x_{1},x_{2},y)[/mm] = [mm]2x_{1}*y^{\red{2}}-x_{2}[/mm]
> [mm]D_{x_{2}}F(x_{1},x_{2},y)[/mm] = [mm]-y*e^{-x_{2}}-x_{1}[/mm]
> [mm]D_{y}F(x_{1},x_{2},y)[/mm] = [mm]2x_{1}^{2}*y+e^{-x_{2}}[/mm]
>
> 3. impliziten Funktionensatz anwenden
>
> !!! Hier meine Unsicherheit und Nachfrage nach Korrektheit,
> ich habe diesen Satz bisher nur angewendet bei einer
> Variablen x und nicht bei [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] !!!
>
> [mm]y'(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]\bruch{(2x_{1}*y-x_{2} , -y*e^{-x_{2}}-x_{1})}{(2 x_{1}^{2}*y+e^{-x_{2}})}[/mm]
>
> 4.
> a) y=1 in y'(1,0) benutzen: [mm]\bruch{(2, -2)}{3}[/mm] =
> [mm](\bruch{2}{3}, \bruch{-2}{3})[/mm]
> b) analog mit y=-2
>
> Meine Frage also: Ist das ganze ab Schritt 3 bis Ende
> richtig ???
Bei Schritt 3 muß es doch lauten:
[mm]y'(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]\bruch{(\red{-}2x_{1}*y^{2}\red{+}x_{2} , \red{+}y*e^{-x_{2}}\red{+}x_{1})}{(2 x_{1}^{2}*y+e^{-x_{2}})}[/mm]
>
> danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 07.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
ja bei den Korrekturen hast du recht, was ist aber grundsätzlich mit dem Vorgehen ?
Wenn ich den impliziten Funktionensatz anwende und y z.b. von 4 variablen [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{4} [/mm] abhängen würde, müsste ich dann im Zähler bei der Ableitung y' die partiellen Ableitungen dieser 4 Variablen als Zeilenvektor haben, so wie ich es in dieser Aufgabe für die 2 Variablen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gemacht habe ? Darauf bezog sich eher meine Frage, da ich den impliziten Funktionensatz halt nur mit einer Variable x, von der y abhängt, kennengelernt hatte. danke
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Hallo PiPchen,
> ja bei den Korrekturen hast du recht, was ist aber
> grundsätzlich mit dem Vorgehen ?
Die Vorgehensweise ist ok.
> Wenn ich den impliziten Funktionensatz anwende und y z.b.
> von 4 variablen [mm]x_{1}[/mm] bis [mm]x_{4}[/mm] abhängen würde, müsste
> ich dann im Zähler bei der Ableitung y' die partiellen
> Ableitungen dieser 4 Variablen als Zeilenvektor haben, so
> wie ich es in dieser Aufgabe für die 2 Variablen [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] gemacht habe ? Darauf bezog sich eher meine Frage, da
> ich den impliziten Funktionensatz halt nur mit einer
> Variable x, von der y abhängt, kennengelernt hatte. danke
Ja, das ist korrekt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mo 13.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
alles klar. danke für die hilfe
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