im Körper Z/(5) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 23.03.2011 | | Autor: | bollera |
| Aufgabe | Sei F=Z/(5) der Körper mit 5 Elementen.
a) Sei L=F(a) mit [mm] a^3+a+1=0. [/mm] Gib eine F-Basis für L/F an und stelle [mm] a^5 [/mm] in dieser Basis dar! Wieviele Elemente hat L?
b) Dividierevom Polynom [mm] f=x^3+x+1\in\[/mm] den Linearfaktor (x-a) ab! zeige, dass auch [mm] a^5 [/mm] eine Nullstelle von f ist, und gib alle Nullstellen von f in L an!
c) Zeige, dass jedes Element von L eine Nullstelle von [mm] g=x^125-x\in\F[X] [/mm] ist. Hat g mehrfache Nullstellen? Wie viele irreduzible Faktoren von welchen Graden besitzt g in F[x] bzw. in L[X]? |
Liebe Mitglieder, bin total ahnungslos! :-(
a) was genau ist L? Ein Körper? wenn ich das mal verstanden hätte, wie würde ich dann eine Basis aufstellen (jajaja, hab zu grosse Lücken, weiss ich auch... )
b) Da muss ich wohl was falsch machen... wenn ich diesen Linearfaktor abspalte, komme ich auf einen Rest von [mm] 1+a+a^2 [/mm] ... Heisst die Angabe aber nicht, dass a Nullstelle sein sollte...? Nehm an es hat was mit den Eigenschaften von L zu tun, aber ich komm mit der Notation einfach nicht zurecht....
c) Ich versteh halbwegs die Angabe, hab aber keien Ahnung, wo ich anfangen soll...!
Bin über alle Hinweise dankbar, danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Sei F=Z/(5) der Körper mit 5 Elementen.
> a) Sei L=F(a) mit [mm]a^3+a+1=0.[/mm] Gib eine F-Basis für L/F an
> und stelle [mm]a^5[/mm] in dieser Basis dar! Wieviele Elemente hat
> L?
> b) Dividierevom Polynom [mm]f=x^3+x+1\in\[/mm] den Linearfaktor
> (x-a) ab! zeige, dass auch [mm]a^5[/mm] eine Nullstelle von f ist,
> und gib alle Nullstellen von f in L an!
> c) Zeige, dass jedes Element von L eine Nullstelle von
> [mm]g=x^125-x\in\F[X] [/mm] ist. Hat g mehrfache Nullstellen? Wie
> viele irreduzible Faktoren von welchen Graden besitzt g in
> F[x] bzw. in L[X]?
> Liebe Mitglieder, bin total ahnungslos! :-(
> a) was genau ist L? Ein Körper? wenn ich das mal
> verstanden hätte, wie würde ich dann eine Basis
> aufstellen (jajaja, hab zu grosse Lücken, weiss ich
> auch... )
Ja, L ist ein Körper. Er entsteht aus K, indem du das Element a zu K adjungierst. Das bedeutet, dass du zum Körper a hinzunimmst und dann noch alle Elemente, die notwendig sind, damit die Körperaxiome erfüllt sind. Du musst also zum Beispiel auch [mm] $-a\:$ [/mm] und [mm] a^{-1}$ [/mm] dazunehmen, sonst würden additives und multiplikatives Inverses nicht existieren, oder auch [mm] $3a^2$, [/mm] sonst wäre L nich abgeschlossen unter Multiplikation, usw.
Also, L ist ein Körper, der K enthält. Diesen kann man nun als K-Vektorraum auffassen. Wenn man dies tut, so kann man eine Basis angeben (für den Fall, dass der Vektorraum endlichdim. ist, und das ist er hier). Das sollst du jetzt tun.
Da [mm] $a^3+a+1=0$ [/mm] gilt, ist a Nullstelle des Polynoms [mm] $f=x^3+x+1$. [/mm] Dieses ist in [mm] $\IZ/(5)$ [/mm] irreduzibel. Das siehst du daran, dass es keine Nullstelle in [mm] $\IZ/(5)$ [/mm] hat und vom Grad 3 ist. Damit ist es also das Minimalpolynom von a über K. Damit ist der Körpererweiterungsgrad $[L:K]=3$, nämlich genau der Grad des Minimalpolynoms. Das ist dann auch die Dimension des K-Vektorraums L. Eine Basis L ist somit gegeben durch [mm] $(1,a,a^2)$.
[/mm]
Verwende nun die Realtion [mm] $a^3+a+1=0$ [/mm] um [mm] $a^5$ [/mm] in dieser Basis darzustellen.
Zur Anzahl der Elemente: Ein Element aus L hat allgemein die Form [mm] $x+ya+za^2, [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] K$, da ja L K-Vektorraum ist und somit jedes Element als Linearkombination der Basis geschrieben werden kann. Wie viele Elemente dieser Form gibt es? Beachte dass K nur 5 Elemente hat.
> b) Da muss ich wohl was falsch machen... wenn ich diesen
> Linearfaktor abspalte, komme ich auf einen Rest von [mm]1+a+a^2[/mm]
Das hab ich nicht, rechne es nochmal nach. Der Rest verschwindet. In a hast du eine Relation für [mm] $a^5$ [/mm] aufgestellt. Die kannst du dann einfach in das Polynom einsetzen, dass du nach der Polynomdivision erhälst. Dann siehst du dass auch da 0 rauskommt. Wie du dann die dritte Nullstelle erhälst, kannst du dir ja nochmal selbst überlegen.
> c) Ich versteh halbwegs die Angabe, hab aber keien Ahnung,
> wo ich anfangen soll...!
Du kannst beispielsweise zeigen, dass die Abbildung [mm] $\sigma:L \to [/mm] L: x [mm] \mapsto x^{125}$ [/mm] ein Homomorphismus von L ist. Da ein Körperhomomorphismus stets injektiv ist, bedeutet das, da L endlich ist, dass [mm] $\sigma$ [/mm] die Identität auf L ist. Damit gilt dann schon [mm] $x^{125}=x$ [/mm] für alle Elemente aus L.
Bezüglich der mehrfachen Nullstellen hilft dir die Anzahl der Elemente von L zu betrachten. Oder du nutzt aus, dass die mehrfachen Nullstellen von f mit den gemeinsamen Nullstellen von f und der Ableitung f' übereinstimmen. Beachte dabei wieder, dass unsere betrachteten Körper Charakteristik 5 haben.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Do 24.03.2011 | | Autor: | bollera |
WOW, danke danke merci gracias!
Hab jetzt alles erledigt bis auf [mm] a^5, [/mm] da komm ich grad nicht drauf aber das werd ich wohl auch noch hinkriegen! 
muchas gracias!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Do 24.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
[mm] $a^3+a+1=0 \Rightarrow a^5+a^3+a^2=0 \Rightarrow a^5=-a^3-a^2=-a^2+a+1$.
[/mm]
Im letzten Schritt hab ich [mm] $a^3=-a-1$ [/mm] gesetzt, was ja aus der ersten Gleichung ersichtlich ist.
LG Lippel
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