ich moechte auch loesen ! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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zur stetigkeit, e funktion, und konvergenz ... ;))))
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 08.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
Dieses Forum ist reserviert für spezielle Trainingsprogramme, die ich mit interessierten Schülern durchführe. Nichtsdestotrotz ist deine Anfrage berechtigt, aber ich verschiebe sie mal in das Analysis-Forum. Nicht böse sein... ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan ( *verbeug* )
> [mm]f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}[/mm]
>
> für [mm]x \to +\infty[/mm] und [mm]x \to - \infty[/mm].
also, nun mal der versuch diese aufgabe zu loesen
a) zur stetigkeit ...
um das [mm] \epsilon \delta [/mm] kriterium verwenden zu koennen, nutze ich zuallererst einmal aus, das die funktion
f(0) = 0 ist,
folglich bleibt nur noch
[mm] \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\le\epsilon [/mm]
für alle [mm] x<\delta
[/mm]
nun weiss ich erst einmal nicht weiter, die ueberlegungen lassen mich aber zu der ueberzeugung hinreissen, das die funktion auf ganz R stetig ist, ;)
die ueberlegungen gehen sogar so weit, das fuer hinreichend kleine x>0 dieses ominöse ungleichung erfüllt ist, dazu mache ich mir aber nun den zwischenwertsatz zunutze, der zwar nur auf stetigen funktionen definiert ist, da aber fuer x<0 die funktionswerte nun negativ werden, und fuer x>0 die funktionswerte positiv , muss ein nullpunkt ( genau bei 0 ) liegen, ich kann leider nicht anders als die stetigkeit der exp funktion auszunutzen ... ;(((((((((((((((((((((((((((((((((8 sorry,
also, fazit: die funktion ist auf ganz R stetig ... ;)
b) konvergenz, meine vermutungen sind, da e^-x fuer [mm] x->\infty [/mm] sehr klein wird, das die konvergenz fuer [mm] x->\infty [/mm] gegen 1 geht,
analog dazu kann man folgern, da [mm] e^x [/mm] fuer negative x'se e^-x und e^-x fuer negative x'se [mm] e^x [/mm] wird, das fuer [mm] x->-\infty [/mm] die folge gegen -1 strebt, nun versuche ich mal dies zu zeigen ....
also
[mm] \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}-1 [/mm] = [mm] \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}-\frac{e^x+e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
[/mm]
[mm] =\frac{e^x - e^{-x} - (e^x + e^{-x}) }{e^x + e^{-x}} [/mm] = [mm] \frac{e^x - e^{-x} - e^x - e^{-x} }{e^x + e^{-x}} [/mm]
= [mm] \frac{-2e^{-x}}{e^x + e^{-x}} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
also, ein n bestimmen fuer das diese aussage nun fuer beliebige epsilons geht kriege ich nicht hin, aber ich denke man sieht, das die letzte funktion eine nullfolge ist, das sehe sogar ich als ehrlichbemuehter wenigchecker, der am 17.03. seine nachschreibe klausur hat :)
analoges wuerde ich fuer -1 machen, kann ich dich damit zufrieden stellen ? leider kriege ich das mit der stetigkeit irgendwie nicht hin, aber die konvergenz muesste doch nun gezeigt sein oder ? oder moechtest du nun auch noch die formel mit der du den index N berechnen kannst, sodass fuer alle n>N [mm] f(n)<\epsilon [/mm] gilt ? also ich wuerde ihn dir gerne geben, kann ich aber nit ...
ich kann nur fuer [mm] \bruch{1}{n} [/mm] dir dieses gross N geben, hehe, und zwar muss [mm] n>\bruch{1}{\epsilon} [/mm] sein, dann sind alle
[mm] f(n)<\epsilon [/mm] ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ehrlichbemühter!
> > [mm]f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}[/mm]
> >
> > für [mm]x \to +\infty[/mm] und [mm]x \to - \infty[/mm].
>
> also, nun mal der versuch diese aufgabe zu loesen
>
> a) zur stetigkeit ...
>
> um das [mm]\epsilon \delta[/mm] kriterium verwenden zu koennen,
> nutze ich zuallererst einmal aus, das die funktion
>
> f(0) = 0 ist,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> folglich bleibt nur noch
>
> [mm]\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\le\epsilon[/mm]
>
> für alle [mm]x<\delta
[/mm]
Bitte die Beträge nicht vergessen!
Zu zeigen ist: Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x|<\delta$ [/mm] gilt:
[mm] $\left\vert \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right\vert [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Hier darfst du nach Aufgabenstellung die Stetigkeit der Exponentialfunktion in $0$ ausnutzen, aber nicht die Grenzwertsätze. Dau wolltest ja Abschätzungen üben, also tun wir das.
Kürzt man den Bruch mit [mm] $e^{-x}$ [/mm] , so erhält man:
[mm] $\left\vert \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right\vert [/mm] = [mm] \left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert$.
[/mm]
Da der Nenner immer [mm] $\ge [/mm] 1$ ist, können wir abschätzen:
[mm] $\left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert \le \vert e^{2x}-1 \vert$.
[/mm]
Da die Exponentialfunktion in $0$ stetig ist, gibt es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit
[mm] $\vert e^{y}-1 \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|y|< [mm] \delta$.
[/mm]
Dann gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert <\delta':=\frac{\delta}{2}$:
[/mm]
[mm] $\vert e^{2x}-1 \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Aus der obigen Ungleichungskette folgt dann die Behauptung.
Die Konvergenz ist schon okay so. Ich wollte da nicht, dass du sie explizit mit einer [mm] $\varepsilon-N(\varepsilon)$-Definition [/mm] zeigst.
Damit sehe ich die Aufgabe als erledigt an; es sei denn du hast zum Stetigkeitsbeweis noch Fragen.
Liebe Grüße
Stefan
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hi stefan
> Bitte die Beträge nicht vergessen!
ich werde mich ehrlich bemühen ... ;)
>
>
> Kürzt man den Bruch mit [mm]e^{-x}[/mm] , so erhält man:
>
> [mm]\left\vert \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right\vert = \left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert[/mm].
>
??? da habe ich direkt eine frage ... wie hast du denn da jetzt gekuerzt ? ich dachte summen kuerzen nur die dummen ?!?!?!?
> Da der Nenner immer [mm]\ge 1[/mm] ist, können wir abschätzen:
>
> [mm]\left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert \le \vert e^{2x}-1 \vert[/mm].
damit bin auch ich einverstanden
> Da die Exponentialfunktion in [mm]0[/mm] stetig ist, gibt es ein
> [mm]\delta>0[/mm] mit
>
> [mm]\vert e^{y}-1 \vert < \varepsilon[/mm]
so, hiermit bin ich auch einverstanden, obwohl mich zuerst verwundert hat, das du nur ein y suchst mit der eigenschaft < [mm] \varepsilon
[/mm]
das ist ok, da wir ja nur fuer die stelle 0 überprüfen wollen ob sie nun stetig ist ...
nur finde ich die argumentation ein wenig schwammig ;) dein argument ist, das die exponential funktion stetig ist,
o.k. aber zu der aussage:
[mm]\vert e^{y}-1 \vert < \varepsilon[/mm]
bist du doch INTUITIV gekommen, oder ? also, du weisst, das [mm] \exp(x) [/mm] stetig ist, das [mm] \exp(0)=1 [/mm] ist, und folglich
[mm] \exp(0)-1 [/mm] = 0 und somit klein genug an der stelle 0 bzw. in einer gewissen [mm] \delta [/mm] umgebung sein wird ... oder ?
> für alle [mm]y \in \IR[/mm] mit [mm]|y|< \delta[/mm].
>
> Dann gilt für alle [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\vert x \vert <\delta':=\frac{\delta}{2}[/mm]:
so, was machst du nun hier wieder ? ist das die endgueltige aussage ?
du hast oben das [mm] \delta [/mm] definiert, und nun benutzt du [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] ist mir irgendwie nit klar,
wieso du genau auf der halben strecke [mm] \delta [/mm] nun sagst, das ab da diese
>
>
> [mm]\vert e^{2x}-1 \vert < \varepsilon[/mm].
>
aussage gilt ... ;(
*ich habe aufgehoert mich zu schaemen *
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ehrlichbemühter!
> > Kürzt man den Bruch mit [mm]e^{-x}[/mm] , so erhält man:
> >
> > [mm]\left\vert \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right\vert = \left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert[/mm].
>
> >
>
> ??? da habe ich direkt eine frage ... wie hast du denn da
> jetzt gekuerzt ? ich dachte summen kuerzen nur die dummen
> ?!?!?!?
Nun ja, ich bin eben dumm, musst du wissen.
Man könnte aber auch faktorisieren:
[mm] $\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+ e^{-x}} [/mm] = [mm] \frac{e^{-x} \cdot (e^{2x} - 1)}{e^{-x} \cdot (e^{2x} + 1)}$
[/mm]
und dann kürzen (das wäre dann eine gewisse Bauernschläue).
> > Da der Nenner immer [mm]\ge 1[/mm] ist, können wir abschätzen:
> >
> > [mm]\left\vert \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \right\vert \le \vert e^{2x}-1 \vert[/mm].
>
>
> damit bin auch ich einverstanden
>
>
> > Da die Exponentialfunktion in [mm]0[/mm] stetig ist, gibt es ein
>
> > [mm]\delta>0[/mm] mit
> >
> > [mm]\vert e^{y}-1 \vert < \varepsilon[/mm]
>
> so, hiermit bin ich auch einverstanden, obwohl mich zuerst
> verwundert hat, das du nur ein y suchst mit der
> eigenschaft < [mm]\varepsilon
[/mm]
>
> das ist ok, da wir ja nur fuer die stelle 0 überprüfen
> wollen ob sie nun stetig ist ...
> nur finde ich die argumentation ein wenig schwammig ;) dein
> argument ist, das die exponential funktion stetig ist,
Hast du dir meine Aufgabenstellung durchgelesen?  Das sollte man ja voraussetzen.
> o.k. aber zu der aussage:
> [mm]\vert e^{y}-1 \vert < \varepsilon[/mm]
> bist du doch INTUITIV
> gekommen, oder ? also, du weisst, das [mm]\exp(x)[/mm] stetig ist,
> das [mm]\exp(0)=1[/mm] ist, und folglich
> [mm]\exp(0)-1[/mm] = 0 und somit klein genug an der stelle 0 bzw.
> in einer gewissen [mm]\delta[/mm] umgebung sein wird ... oder ?
Es ist die Definition der Stetigkeit der Exponentialfunktion an der Stelle $x=0$.
> > für alle [mm]y \in \IR[/mm] mit [mm]|y|< \delta[/mm].
> >
> > Dann gilt für alle [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\vert x \vert <\delta':=\frac{\delta}{2}[/mm]:
>
>
> so, was machst du nun hier wieder ? ist das die endgueltige
> aussage ?
> du hast oben das [mm]\delta[/mm] definiert, und nun benutzt du
> [mm]\frac{\delta}{2}[/mm] ist mir irgendwie nit klar,
> wieso du genau auf der halben strecke [mm]\delta[/mm] nun sagst,
> das ab da diese
> >
> >
> > [mm]\vert e^{2x}-1 \vert < \varepsilon[/mm].
> >
>
> aussage gilt ... ;(
Nun ja, wenn für [mm] $|y|<\delta$ [/mm] gerade [mm] $|e^{y}-1|<\varepepsilon$ [/mm] gilt, dann gilt für $|x| < [mm] \frac{\delta}{2}$ [/mm] (also: [mm] $|2x|<\delta$) [/mm] eben [mm] $|e^{2x}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]
> *ich habe aufgehoert mich zu schaemen *
Wofür?
Liebe Grüße
Stefan
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