i als innerer punkt < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 15.02.2013 | | Autor: | Fagl |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die imaginäre Einheit i ein innerer Punkt der Menge M={z [mm] \in \|C [/mm] | Im z > 0} |
Hi, nach der Definition des inneren Punktes muss ich zeigen dass es eine [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von i gibt die eine Teilmenge von M ist. Die imaginäre Einheit i ist in komplexer a+ib Form 0+i1.
Jetzt muss ich doch nur ein [mm] \varepsilon [/mm] finden für das gilt:
Im [mm] [(0+i1)-\varepsilon,(0+i1)+\varepsilon]>0
[/mm]
Also ist [mm] \varepsilon [/mm] auch eine komplexe zahl der form a+bi oder?
Und jetzt sage ich sei [mm] \varepsilon=\bruch{1}{2}+i \bruch{1}{2} [/mm] und dann habe ich doch eine Umgebung die eine Teilmenge von M ist oder? Stelle ich mir dir Umgebung im Komplexen da richtig vor?
Ich habe diese frage in keinem amderen Forum gestellt.
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> Zeigen Sie, dass die imaginäre Einheit i ein innerer Punkt
> der Menge $\ M\ =\ [mm] \{\,z\,\in \IC\ | \ Im(z)\, >\, 0\,\}$
[/mm]
> Hi, nach der Definition des inneren Punktes muss ich
> zeigen dass es eine [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von i gibt die
> eine Teilmenge von M ist. Die imaginäre Einheit i ist in
> komplexer a+ib Form 0+i1.
> Jetzt muss ich doch nur ein [mm]\varepsilon[/mm] finden für das
> gilt:
> Im [mm][(0+i1)-\varepsilon,(0+i1)+\varepsilon]>0[/mm]
> Also ist [mm]\varepsilon[/mm] auch eine komplexe zahl der form a+bi
> oder?
> Und jetzt sage ich sei [mm]\varepsilon=\bruch{1}{2}+i \bruch{1}{2}[/mm]
> und dann habe ich doch eine Umgebung die eine Teilmenge von
> M ist oder? Stelle ich mir dir Umgebung im Komplexen da
> richtig vor?
Hallo Fagl,
mit dem [mm] \varepsilon [/mm] ist im Zusammenhang mit [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebungen
eigentlich immer eine reelle positive Zahl gemeint.
Für eine komplexe Zahl [mm] z_0 [/mm] ist dann
$\ [mm] U_{\varepsilon}(z_0)\ [/mm] =\ [mm] \{\,z\in\IC\ :\quad |z-z_0|<\varepsilon\,\}$
[/mm]
Für dein Beispiel kannst du etwa [mm] $\varepsilon\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] nehmen, aber
falls du nicht geizen willst, käme sogar [mm] $\varepsilon\ [/mm] =\ 1$ in Frage.
LG , Al-Chw.
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