hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch Testreihen wurde festgestellt, dass nur 80 % der Autos einer Serienproduktion die angegebene Höchstgeschwindigkeit erreichen. Ein Händler kauft 10 Autos aus einer Serie.
Von 10 Autos werden genau 2 Autos die angegebene Höchstgeschwindigkeit nicht erreichen, dies lässt sich mit der Formel: 45 * [mm] 0,8^8 [/mm] * [mm] 0,2^2.
[/mm]
Bei dem Beispiel handelt es sich nur „annährend“ um eine Binomialverteilung. Es handelt sich hier um die hypergeometrische Verteilung. Begründe. Formel allgemein, bezogen auf das obige Beispiel. |
Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen und komme dabei leider nicht weiter. Die Aufgabe steht oben.
Ich habe das nun so versanden, dass wir bei dem Beispiel ja eigentlich noch mit „zurück legen“ rechnen, was ja eigentlich Quatsch ist, denn ein Auto lässt sich ja nicht „zurück legen“ und genau deswegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit und es handelt sich auch aus diesem Grunde um die hypergeometrische Verteilung.
Ist denn der Gedankengang so weit richtig? Oder warum handelt es sich sonst um eine hypergeometrische Verteilung? Und wie begründe ich das mit der Formel?
Ich danke im Voraus für hilfereiche Beiträge.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ja, dein Gedankengang ist soweit richtig. Es handelt sich um eine hypergeometrische Verteilung, da du nicht "zurücklegst", wie du es ja bei der Binomialverteilung machst.
Bei einer hypergeometischen Verteilung hast du normalerweise absolut Werte gegeben, wie z.B.:
Es werden [mm] N_{1}=20 [/mm] Autos produziert, davon erreichen nur [mm] M_{1}=16 [/mm] die vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n=10 Autos k=8 die Höchstgeschwindigkeit erreichen?
Hierbei habe ich die Mengen N und M so gewählt, dass die 80% noch stimmen! Alternativ könnte ich auch sagen: [mm] N_{2}=100, M_{2}=80. [/mm] n=10 und k=8 bleiben wie gehabt!
Beide Male erreichen 80% der produzierten Autos die Höchstgeschwindigkeit!
Wenn man jetzt die Wahrscheinlichkeiten in den beiden Fällen mit der hypergeometrischen Verteilung ermittelt ergibt sich:
hypergeometrische Verteilung: [mm] P(X=k) = \bruch{\vektor{M \\ k} * \vektor{N-M \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}} [/mm]
1. Fall: [mm] P(X=8) = \bruch{\vektor{16 \\ 8} * \vektor{4\\ 2}}{\vektor{20 \\ 10}} \approx 0,4176 [/mm]
2. Fall: [mm] P(X=8) = \bruch{\vektor{80 \\ 8} * \vektor{20\\ 2}}{\vektor{100 \\ 10}} \approx 0,3182 [/mm]
Das Ergebnis der Binomialverteilung: [mm] P(X=8) = \vektor{10 \\ 8 } *0,8^8 * 0,2^2 \approx 0,302 [/mm]
Die Ergebnisse der hypergeometrischen Verteilung weichen doch recht stark voneinander ab. Wenn also gegeben ist, dass 80% der Autos die Höchstgeschwindigkeit erreichen, man aber nicht weiß wieviele Autos überhaupt produziert werden, kann man mit der hypergeometrischen Verteilung nicht rechnen, da man die genauen Daten nicht kennt!
Hier hilft die Binomialverteilung weiter. Hier brauchst du keine genaueren Angaben darüber wieviele Auto tatsächlich produziert werden. Die Binomialverteilung ist aber auch nicht genau! Denn wie du bereits erkannt hast gibt es hier kein "zurücklegen"!
Bei der Produktion von Autos kann man allerdings davon ausgehen, dass die Produktionszahlen enorm hoch sind und es sich dann hier annährend um eine Binomialverteilung handelt, weil das Zurücklegen bzw. Nicht-Zurücklegen sozusagen in der großen Masse an Autos untergeht und annährend vernachlässigt werden kann.
Ich hoffe es war verständlich! ;)
MfG
MichaelKelso
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Di 28.05.2013 | | Autor: | destroyah |
Hey!
Vielen Dank für deine zügige und sehr gute Antwort. Sie hat mir sehr weiter geholfen und war sehr verständlich.
Vielen Dank und eine schöne Woche wünsche ich noch. :)
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