hübsche Aufgabe, fiese Lösung < Knobelaufgaben < Café VH < Internes < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Gestern ist mir eine hübsche Fragestellung zu Ohren gekommen.
Motivation: Sei [mm] $T:C^2[0,1] \to [/mm] C[0,1]$ definiert durch
$T(f):=f''$,
Dann ist T linear und es gilt für $f [mm] \in C^2[0,1]$:
[/mm]
f ist auf [0,1] konvex [mm] \gdw [/mm] $(T(f))(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Frage: gibt es eine lineare Abbildung $S:C[0,1] [mm] \to [/mm] C[0,1]$ mit: für $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ gilt
f ist auf [0,1] konvex [mm] \gdw [/mm] $(S(f))(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Die Antwort auf diese Frage ist: ja.
Man zeige dies.
Meine Meinung zur mir vorliegenden Lösung: "fies". Andere mögen das anders sehen ....
FRED
P.S.:
Vielleicht könnte jemand unter den Moderatoren diese Aufgabe in der üblichen Weise deklarieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
ich danke Dir fürs "deklarieren"
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Schade, dass sich noch niemand an obiger Aufgabe versucht hat. Zwei Tipps:
1. für f [mm] \in [/mm] C[0,1] gilt:
f ist konvex auf [0,1] [mm] \gdw $\bruch{f(x)+f(y)}{2} \ge [/mm] f( [mm] \bruch{x+y}{2})$ [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1]
2. Peano, Peano, Peano,...
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Do 26.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Schade, dass sich noch niemand an obiger Aufgabe versucht
> hat.
ich hab sie gerade erst entdeckt...
> Zwei Tipps:
>
> 1. für f [mm]\in[/mm] C[0,1] gilt:
>
> f ist konvex auf [0,1] [mm]\gdw[/mm] [mm]\bruch{f(x)+f(y)}{2} \ge f( \bruch{x+y}{2})[/mm]
> für alle x,y [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> 2. Peano, Peano, Peano,...
Jetzt hast du die Loesung ja schon (fast) verraten 
LG Felix
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Hallo
Sei F: [mm] [0...1]^2\to\IR [/mm] mit [mm] F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right)
[/mm]
und P: [mm] [0...1]\to [0...1]^2 [/mm] eine stetige, surjektive
"Peano-Abbildung", welche das Intervall $\ [0...1]$ auf
das Quadrat [mm] [0...1]^2 [/mm] abbildet.
Nun sei $\ S:\ [mm] C([0...1])\to\ [/mm] C([0...1])$
$\ [mm] f\quad\ \mapsto\ \quad [/mm] S(f)$ mit $\ (S(f))(z):=F(P(z))$
Die Linearität von $\ S$ , also
$\ S(f+g)=S(f)+S(g)$
$\ [mm] S(\lambda*f)=\lambda*S(f)$
[/mm]
ist leicht zu zeigen.
Ist ferner $\ f$ konvex, so gilt $\ [mm] F(x,y)\ge0$ [/mm] für alle
$\ [mm] (x,y)\in [0...1]^2$ [/mm] und damit $\ [mm] (S(f))(z)\ge0$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in [/mm] [0...1]$ .
Gilt umgekehrt $\ [mm] (S(f))(z)\ge0$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in [/mm] [0...1]$ , so
muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
wirklich alle Paare $\ [mm] (x,y)\in [0...1]^2$ [/mm] auf die Erfüllung
der Konvexitätsbedingung.
FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
was ist daran "fies" ?
Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.
LG Al
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Sei F: [mm][0...1]^2\to\IR[/mm] mit
> [mm]F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right)[/mm]
>
> und P: [mm][0...1]\to [0...1]^2[/mm] eine stetige, surjektive
> "Peano-Abbildung", welche das Intervall [mm]\ [0...1][/mm] auf
> das Quadrat [mm][0...1]^2[/mm] abbildet.
>
> Nun sei [mm]\ S:\ C([0...1])\to\ C([0...1])[/mm]
> [mm]\ f\quad\ \mapsto\ \quad S(f)[/mm] mit [mm]\ (S(f))(z):=F(P(z))[/mm]
>
> Die Linearität von [mm]\ S[/mm] , also
>
> [mm]\ S(f+g)=S(f)+S(g)[/mm]
>
> [mm]\ S(\lambda*f)=\lambda*S(f)[/mm]
>
> ist leicht zu zeigen.
>
> Ist ferner [mm]\ f[/mm] konvex, so gilt [mm]\ F(x,y)\ge0[/mm] für alle
> [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] und damit [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm]
> .
>
> Gilt umgekehrt [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm] ,
> so
> muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
> von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
> wirklich alle Paare [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] auf die
> Erfüllung
> der Konvexitätsbedingung.
>
> FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
> was ist daran "fies" ?
Hallo Al,
.. "fies" ist natürlich Geschmacksache....,
aber ohne die zwei Tipps ( insbesondere "Peano") ist die Lösung alles andere als naheliegend.
> Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
> praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
> definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.
Darum gehts ja auch nicht.
Gruß FRED
>
> LG Al
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> > Sei F: [mm][0...1]^2\to\IR[/mm] mit
> > [mm]F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right)[/mm]
> >
> > und P: [mm][0...1]\to [0...1]^2[/mm] eine stetige, surjektive
> > "Peano-Abbildung", welche das Intervall [mm]\ [0...1][/mm] auf
> > das Quadrat [mm][0...1]^2[/mm] abbildet.
> >
> > Nun sei [mm]\ S:\ C([0...1])\to\ C([0...1])[/mm]
> > [mm]\ f\quad\ \mapsto\ \quad S(f)[/mm] mit [mm]\ (S(f))(z):=F(P(z))[/mm]
>
> > Die Linearität von [mm]\ S[/mm] , also
> >
> > [mm]\ S(f+g)=S(f)+S(g)[/mm]
> >
> > [mm]\ S(\lambda*f)=\lambda*S(f)[/mm]
> >
> > ist leicht zu zeigen.
> >
> > Ist ferner [mm]\ f[/mm] konvex, so gilt [mm]\ F(x,y)\ge0[/mm] für alle
> > [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] und damit [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm]
> >
> > Gilt umgekehrt [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm] ,
> > so muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
> > von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
> > wirklich alle Paare [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] auf die
> > Erfüllung
> > der Konvexitätsbedingung.
> >
> > FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
> > was ist daran "fies" ?
>
> Hallo Al,
>
> .. "fies" ist natürlich Geschmacksache....,
>
> aber ohne die zwei Tipps ( insbesondere "Peano") ist die
> Lösung alles andere als naheliegend.
Natürlich - ich wäre bestimmt nicht ohne den Tipp mit
Peano drauf gekommen. Auch diesen interpretierte ich
zunächst in Richtung vollständige Induktion. Dass eine
Peano-Kurve (das Stichwort kam mir schon auch in den
Sinn) tatsächlich Hilfe bringen könnte, konnte ich mir
zunächst nicht recht vorstellen, bis mir felixf noch den
entscheidenden Anstoß gab ...
> > Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
> > praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
> > definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.
>
> Darum gehts ja auch nicht.
>
> Gruß FRED
Vielen Dank jedenfalls für diese am Ende doch recht
überraschende Aufgabe.
Al
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