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| Aufgabe | Gelöst werden soll ein lineares homogenes Gleichungssystem, mit der Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ -2 & 4 & -2 & 2 } [/mm]
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Hallo,
kann mir jemand vielleicht helfen. Also, ich habe die Lösung vorliegen und in dieser steht folgendes:
Die Matrix wurde auf Treppennormalform gebracht, was ich nachvollziehen kann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Und dann steht dort, dass man die Lösung daran ablesen könnte, welche wie folgt aussieht:
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\rangle
[/mm]
Also, das besagt doch, dass die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombinationen dieser beiden Vektoren dargestellt werden kann die Lösungsmenge ist. Oder, liege ich da falsch?? Nun verstehe ich schon, wie man auf diese beiden Vektoren kommt. Denn die allgemeine Lösung lautet doch, dass alle Vektoren, die folgend Form habe die Lösung sind.
[mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ x_3 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber jetzt frage ich mich, wieso man gerade diese beiden Vektoren ausgesucht hat. Und warum gerade zwei und nicht z.B. drei???
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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Hallo schlumpfinchen,
> Gelöst werden soll ein lineares homogenes
> Gleichungssystem, mit der Matrix:
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ -2 & 4 & -2 & 2 }[/mm]
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> Hallo,
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> kann mir jemand vielleicht helfen. Also, ich habe die
> Lösung vorliegen und in dieser steht folgendes:
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> Die Matrix wurde auf Treppennormalform gebracht, was ich
> nachvollziehen kann
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Und dann steht dort, dass man die Lösung daran ablesen
> könnte, welche wie folgt aussieht:
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> [mm]V_1[/mm] = [mm]\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\rangle[/mm]
>
> Also, das besagt doch, dass die Menge aller Vektoren, die
> durch Linearkombinationen dieser beiden Vektoren
> dargestellt werden kann die Lösungsmenge ist.
Ja
> Oder, liege ich da falsch??
Nein 
> Nun verstehe ich schon, wie man auf diese
> beiden Vektoren kommt. Denn die allgemeine Lösung lautet
> doch, dass alle Vektoren, die folgend Form habe die Lösung
> sind.
>
> [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ x_3 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aber jetzt frage ich mich, wieso man gerade diese beiden
> Vektoren ausgesucht hat. Und warum gerade zwei und nicht
> z.B. drei???
>
> Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
>
>
Ausgehend von der obigen Matrix in ZSF hast du mit den "verbleibenden" 2 Gleichungen in 4 Unbekannten 2 freie Parameter.
Aus Zeile 2 kannst du direkt ablesen: [mm] $x_2=0$
[/mm]
Die freien Parameter vergib für [mm] $x_3,x_4$
[/mm]
Setze [mm] $x_3=s, x_4=t$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit Zeile 1:
[mm] $1\cdot{}x_1+s-t=0$, [/mm] also [mm] $x_1=-s+t$
[/mm]
Dann ist ein allg. Lösungsvektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$ [/mm] von der Gestalt: [mm] $\vektor{-s+t\\0\\s\\t}=s\cdot{}\vektor{-1\\0\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{1\\0\\0\\1}$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
bzw. mit [mm] $\tilde{s}=-s$ [/mm] und [mm] $\tilde{t}=-t$ [/mm] (wenn s und t die gesamten reellen Zahlen durchlaufen, so auch [mm] $\tilde{s}$ [/mm] und [mm] $\tilde{t}$, [/mm] daher kann man das machen):
[mm] $\vec{x}=\tilde{s}\cdot{}\vektor{1\\0\\-1\\0}+\tilde{t}\cdot{}\vektor{-1\\0\\0\\-1}$
[/mm]
Also genau der Spann aus der Lösung
LG
schachuzipus
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Danke schön und viele grüße aus bremen!
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