homogenes LGS über F3 und Q < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Lösen Sie das folende homogene LGS jeweils über [mm] \IF_{3} [/mm] und [mm] \IQ [/mm] !
[mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] + [mm] 2X_{3}+ X_{4} [/mm] = 0
[mm] 2X_{1} +X_{2} [/mm] + [mm] X_{4} [/mm] = 0
[mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{3} [/mm] = 0
[mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{4} [/mm] = 0 |
Hallo,
ich habe so meine Probleme beim Modulo-rechnen. Es wäre schön, wenn das noch mal jemand erläutern könnte.
über [mm] \IQ [/mm] hab ich raus:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
über [mm] \IF_{3}
[/mm]
Kann man jetzt die Zeilen normal voneinander abziehen und dann wieder in mod3 umrechnen? Was muss ich da beachten?
LG
Klemme
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> über [mm]\IF_{3}[/mm]
> Kann man jetzt die Zeilen normal voneinander abziehen und
> dann wieder in mod3 umrechnen?
Hallo,
ja.
> Was muss ich da beachten?
Wenn ich obiges GS löse, komme ich an eine Stelle, an welcher ich habe [mm] 3x_3=0.
[/mm]
In [mm] \IQ [/mm] dividiert an durch 3 und erhält [mm] x_3=0.
[/mm]
mod 3 jedoch ist ja 3=0, Du kannst also nicht durch 3 teilen, sondern Du hast an der Stelle [mm] 0=3x_3=0 [/mm] stehen, also eine Nullzeile in der Koeffizientenmatrix, was sich auf den Rang der Matrix auswirkt.
Gruß v. Angela
>
> LG
>
> Klemme
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Ich rechne folendermaßen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] Tauschen der ersten mit der 2. Zeile
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] 2., 3., 4. Zeile mit 1. Zeile addieren
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 } [/mm] 3. und 4. Zeile mit 2. Zeile addieren
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 } [/mm] 3. und 4. Zeile tauschen
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ich hoffe, dass das jetzt so stimmt.
Aber wie lese ich jetzt die Lösung ab? Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
LG
Klemme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:51 Do 26.03.2009 | | Autor: | isi1 |
Arndt Brünner macht es doch so schön vor, Klemme:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
1 1 2 1 0
2 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 0 1 0
Das Diagonalenfeld der 1. Zeile ist bereits 1.
Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird das -2fache der 1. Zeile addiert:
1 1 2 1 0
0 - 1 - 4 - 1 0
1 0 1 0 0
1 0 0 1 0
Zur 3. Zeile wird das -1fache der 1. Zeile addiert:
1 1 2 1 0
0 - 1 - 4 - 1 0
0 - 1 - 1 - 1 0
1 0 0 1 0
Zur 4. Zeile wird das -1fache der 1. Zeile addiert:
1 1 2 1 0
0 - 1 - 4 - 1 0
0 - 1 - 1 - 1 0
0 - 1 - 2 0 0
Durch Multiplikation der 2. Zeile mit -1 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 1 2 1 0
0 1 4 1 0
0 - 1 - 1 - 1 0
0 - 1 - 2 0 0
Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das -1fache der 2. Zeile addiert:
1 0 - 2 0 0
0 1 4 1 0
0 - 1 - 1 - 1 0
0 - 1 - 2 0 0
Zur 3. Zeile wird die 2. Zeile addiert:
1 0 - 2 0 0
0 1 4 1 0
0 0 3 0 0
0 - 1 - 2 0 0
Zur 4. Zeile wird die 2. Zeile addiert:
1 0 - 2 0 0
0 1 4 1 0
0 0 3 0 0
0 0 2 1 0
Durch Division der 3. Zeile durch 3 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 0 - 2 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 0 0
0 0 2 1 0
Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das 2fache der 3. Zeile addiert:
1 0 0 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 0 0
0 0 2 1 0
Zur 2. Zeile wird das -4fache der 3. Zeile addiert:
1 0 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 2 1 0
Zur 4. Zeile wird das -2fache der 3. Zeile addiert:
1 0 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
Das Diagonalenfeld der 4. Zeile ist bereits 1.
Mit der 4. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 4. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird das -1fache der 4. Zeile addiert:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
In der letzten Spalte stehen die Lösungen.
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> Ich rechne folendermaßen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> Tauschen der ersten mit der 2. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> 2., 3., 4. Zeile mit 1. Zeile addieren
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \red{1} & 0 }[/mm]
> 3. und 4. Zeile mit 2. Zeile addieren
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 }[/mm]
> 3. und 4. Zeile tauschen
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass das jetzt so stimmt.
> Aber wie lese ich jetzt die Lösung ab? Für einen Tipp wäre
> ich sehr dankbar.
>
Hallo,
die rotmarkierte 1 ist nicht richtig, was wohl noch Veränderungen nach sich ziehen wird.
Mal angenommen, Deine Endmatrix wäre richtig. Ich zeige ir, was man damit machen kann: sie hat den Rang 3, der Kern (Lösung des homogenen LGS) also die Dimension 1.
Indem man alle Zeilen mit 2 multipliziert, kann man noch kosmetisch tätig sein und erreichen, daß die führenden Zeilenelemente Einsen sind:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Die Variablen der Spalten, in denen keine führenden Zeilenelemente sind, kann man frei wählen, hier also [mm] x_4.
[/mm]
Man erhält:
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=-x_3-x_4=-t=2t
[/mm]
[mm] x_1=-2x_2-2x_4=-2*2t-2t=0
[/mm]
Damit haben die Lösungsvektoren die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\2t\\0\\t}=t*\vektor{0\\2\\0\\1}.
[/mm]
Würden wir die Lösungen über [mm] \IQ [/mm] betrachten, wären das ziemlich viele Lösungen, abr wir sind im [mm] F_3, [/mm] so daß die Lösungsmenge doch übersichtlich ist, Du könntest sie aufzählend hinschreiben.
Gruß v. Angela
> LG
>
> Klemme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Do 26.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Vielen Dank Angela,
das hat mir sehr geholfen. Mit der 1 habe ich mich wohl verschrieben, aber man sieht gleich, dass das falsch ist.
Den Rest kriege ich hin.
LG
Klemme
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