homogenes Diff. Gleichungssyst < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Gegeben ist das homogene Differentialgleichungssystem:
x'(t) = Ax(t) mit A = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 4 & -3 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie diejenige Lösung, für deren erste Komponente gilt:
x1(0) = 5, x1'(0) = -1 |
Also ich habe da mal begonnen, als erstes habe ich die Eigenwerte und Eigenvektoren von A berechnet:
EW 1 = 1, EW 2 = -2, EV1 = [mm] \vektor{1 \\ 1}, [/mm] EV2 = [mm] \vektor{1 \\ 4}
[/mm]
Dann die diagonal Matrix D gebildet: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
y'(t) = D*y(t)
daraus folgt:
y'(t) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -2 }*y(t)
[/mm]
Was mir das Gleichungssystem ergibt:
y'1(t) = y1(t)
y'2(t) = -2y2(t)
Da ich ja keinen Anfangswert kenne sol ich y1(0) und y2(0) setzen
y'1(t) = y1(0)
y'2(t) = -2y2(0)
Jetzt heisst es, dass ich das nun mit T (Matrix mit den EIgenvektoren) zurücktransformieren soll:
y(0) = Tx(0)
y(0) = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 4 }*x(0)
[/mm]
y1(0) = x1(0) + x2(0)
-2y2(0) = x1(0) + 4x2(0)
x1(0) = 5
y1(0) = 5 + x2(0)
-2y2(0) = 5 + 4x2(0)
Wie muss ich jetzt weiterfahren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was Du da gemacht hast ist mir nicht ganz klar.
Mit den Eigenwerten und den Eigenvektoren kannst Du doch die allgemeine Lösung des Systems locker hinschreiben:
$x(t)= [mm] c_1\vektor{1 \\ 1}*e^t+c_2\vektor{1 \\ 4}*e^{-2t}$
[/mm]
Also ist [mm] x_1(t)= c_1e^t+c_2e^{-2t}
[/mm]
Bestimme nun [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] so, dass [mm] x_1(0) [/mm] = 5 und [mm] x_1'(0) [/mm] = -1 Ist
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Also ich bin einfach so vorgegangen wie es der Assistent gesagt hat. Jetzt hab ichs so gemacht wie du, und bin auf c1 = 3 und c2 = 2 gekommen.
Jetzt soll ich noch die Anfangsbedingugen x(0) bestimmen, für welche die zugehörigen Lösungen x(t) für t--> [mm] +\infty [/mm] gegen 0 streben.
Wie muss ich da genau vorgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ich bin einfach so vorgegangen wie es der Assistent
> gesagt hat. Jetzt hab ichs so gemacht wie du, und bin auf
> c1 = 3 und c2 = 2 gekommen.
>
> Jetzt soll ich noch die Anfangsbedingugen x(0) bestimmen,
> für welche die zugehörigen Lösungen x(t) für t-->
> [mm]+\infty[/mm] gegen 0 streben.
>
> Wie muss ich da genau vorgehen?
Es war
$ x(t)= [mm] c_1\vektor{1 \\ 1}\cdot{}e^t+c_2\vektor{1 \\ 4}\cdot{}e^{-2t} [/mm] $
Was macht [mm] e^t [/mm] für t [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] und was macht [mm] e^{-2t} [/mm] für t [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
also [mm] e^{t} [/mm] geht gegen [mm] +\infty [/mm] für t--> [mm] +\infty [/mm] und [mm] e^{-2t} [/mm] geht gegen 0 für t --> [mm] +\infty
[/mm]
Dann kann ich c2 ja vernachlässigen da es ja gegen null geht oder?
und jetzt muss ich einfach c1 herausfinden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> also [mm]e^{t}[/mm] geht gegen [mm]+\infty[/mm] für t--> [mm]+\infty[/mm] und [mm]e^{-2t}[/mm]
> geht gegen 0 für t --> [mm]+\infty[/mm]
>
> Dann kann ich c2 ja vernachlässigen da es ja gegen null
> geht oder?
>
> und jetzt muss ich einfach c1 herausfinden?
nein umgekehrt ! Es muß [mm] c_1=0 [/mm] sein.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ja so habe ich es auch gemeint, da es ja gegen unendlich geht das et muss man es logischerweise mit 0 multiplizieren also c1 = 0.
aber wie ist es dann mit c2 irgendwie blicke ich nicht durch! Ich soll ja c1 c2 und die Anfangsbedingung finden
also c1 streiche ich da es ja eh 0 gibt
dann ist ja x(t) = [mm] c2*\vektor{1 \\ 4}*e^-2t
[/mm]
wenn ich dann t = 0 setze:
x1(0) = c2*1
x2(0) = c2*4
Und wie muss ich das jetzt weiterrechnen?
was setze ich dann für c2 ein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja so habe ich es auch gemeint, da es ja gegen unendlich
> geht das et muss man es logischerweise mit 0 multiplizieren
> also c1 = 0.
>
> aber wie ist es dann mit c2 irgendwie blicke ich nicht
> durch! Ich soll ja c1 c2 und die Anfangsbedingung finden
>
> also c1 streiche ich da es ja eh 0 gibt
>
> dann ist ja x(t) = [mm]c2*\vektor{1 \\ 4}*e^-2t[/mm]
>
> wenn ich dann t = 0 setze:
>
> x1(0) = c2*1
> x2(0) = c2*4
>
> Und wie muss ich das jetzt weiterrechnen?
>
> was setze ich dann für c2 ein?
Na, ja, für jedes [mm] c_2 [/mm] gilt
$ x(t) = [mm] c_2\cdot{}\vektor{1 \\ 4}\cdot{}e^{-2t} \to [/mm] 0 $ für t [mm] \to [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok Vielen Dank für deine Hilfe, diese Differentialen Gleichungssysteme muss ich noch üben, zum Glück kommen sie erst noch in der Analysis Vorlesung.
Nun habe ich aber noch eine weitere Aufgabe:
Gegeben ist das inhomogene Differentialgleichungssystem 1. Ordnung:
x'(t) = Ax + c, A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0}, [/mm] c = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Nun soll ich als erstes die partikuläre Lösung der Form [mm] x^{part}(t) [/mm] = tu + v bestimmen.
Diesen Ansatz tu + v soll ich ja in die Gleichung einfügen.
Also zuerst habe ich wieder die Eigenwerte und Vektoren ausgerechnet und die Gleichung Analog wie du es oben gemacht aufgestellt:
x(t) = c1 * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] e^{-t} [/mm] + [mm] c2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c3*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}* e^{2t} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Stimmt das? Und wo muss ich jezt diesen Ansatz einfügen? einfach x(t) durch [mm] x^{part}(t) [/mm] ersetzen?
Und als 2. soll ich die allgemeine Lösung des homogenen Systems x'^{hom} = [mm] Ax^{hom} [/mm] herausfinden.
Dies ist doch x(t) = c1 * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] e^{-t} [/mm] + [mm] c2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c3*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}* e^{2t} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Und schlussendlich muss ich dann die allgemeine Lösung für das inhomogene DGS mit x(0) = [mm] \vektor{-0.5 \\ 0.5 \\ -2} [/mm] bestimmen. Dafür muss ich ja dann einfach x(t) = [mm] x^{part}(t) [/mm] + [mm] x^{hom}(t) [/mm] setzen oder?
|
|
|
| |
|
Hallo Marius6d,
> Ok Vielen Dank für deine Hilfe, diese Differentialen
> Gleichungssysteme muss ich noch üben, zum Glück kommen
> sie erst noch in der Analysis Vorlesung.
>
> Nun habe ich aber noch eine weitere Aufgabe:
>
> Gegeben ist das inhomogene Differentialgleichungssystem 1.
> Ordnung:
>
> x'(t) = Ax + c, A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0},[/mm]
> c = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Nun soll ich als erstes die partikuläre Lösung der Form
> [mm]x^{part}(t)[/mm] = tu + v bestimmen.
>
> Diesen Ansatz tu + v soll ich ja in die Gleichung
> einfügen.
>
> Also zuerst habe ich wieder die Eigenwerte und Vektoren
> ausgerechnet und die Gleichung Analog wie du es oben
> gemacht aufgestellt:
>
> x(t) = c1 * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] * [mm]e^{-t}[/mm] + [mm]c2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + [mm]c3*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}* e^{2t}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Der konstante Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] hat bei
der homogenen Lösung nichts zu suchen.
Der Eigenvektor zum Eigenwert -1 lautet doch: [mm]\vektor{1 \\ \red{-}1 \\ 1}[/mm]
Die homogene Lösung des obigen DGL-Systems lautet damit:
[mm]x(t) = c1 * \vektor{1 \\ -1 \\ 1} *e^{-t} + c2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} + c3*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}* e^{2t}[/mm]
>
> Stimmt das? Und wo muss ich jezt diesen Ansatz einfügen?
> einfach x(t) durch [mm]x^{part}(t)[/mm] ersetzen?
Ja.
>
> Und als 2. soll ich die allgemeine Lösung des homogenen
> Systems x'^{hom} = [mm]Ax^{hom}[/mm] herausfinden.
>
> Dies ist doch x(t) = c1 * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] * [mm]e^{-t}[/mm] +
> [mm]c2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] + [mm]c3*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}* e^{2t}[/mm]
> + [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Siehe oben.
>
> Und schlussendlich muss ich dann die allgemeine Lösung
> für das inhomogene DGS mit x(0) = [mm]\vektor{-0.5 \\ 0.5 \\ -2}[/mm]
> bestimmen. Dafür muss ich ja dann einfach x(t) =
> [mm]x^{part}(t)[/mm] + [mm]x^{hom}(t)[/mm] setzen oder?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
also wenn ich [mm] x^{part}(t) [/mm] dann einsetze sieht dass ja wie folgt aus:
t*u+v = [mm] c1*\vektor{1\\ -1\\ 1}*e^{-t} [/mm] + [mm] c2*\vektor{1\\ 0\\ 1}+ c3*\vektor{1\\ 2\\ 1}*e^{2t} [/mm] + [mm] \vektor{1\\ 1\\ 0}
[/mm]
oder? und jetzt muss ich dies t*u + v hinter das Gleichheitszeichen bringen oder wie?
|
|
|
| |
|
Hallo Marius6d,
> also wenn ich [mm]x^{part}(t)[/mm] dann einsetze sieht dass ja wie
> folgt aus:
>
> t*u+v = [mm]c1*\vektor{1\\ -1\\ 1}*e^{-t}[/mm] + [mm]c2*\vektor{1\\ 0\\ 1}+ c3*\vektor{1\\ 2\\ 1}*e^{2t}[/mm]
> + [mm]\vektor{1\\ 1\\ 0}[/mm]
>
> oder? und jetzt muss ich dies t*u + v hinter das
> Gleichheitszeichen bringen oder wie?
Der Ansatz für die partikuläre Lösung [mm]x^{part}(t)[/mm] ist in das
gegebene DGL-System einsetzen, und daraus u und v ermitteln.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marius6d |
Dann muss ich t*u+v nach t umstellen und einsetzen? also t= -v/u und dass überwall wo ein t vorkommt einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo Marius6d,
> Dann muss ich t*u+v nach t umstellen und einsetzen? also t=
> -v/u und dass überwall wo ein t vorkommt einsetzen?
Nein.
Beachte, daß u und v Vektoren sind.
Setze [mm]t*u+v[/mm] in das DGL-System ein:
[mm]\left(t*u+v\right)'=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}*\left(t*u+v\right)+\pmat{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Daraus ergeben sich dann durch
Koeffizientenvergleich die Vektoren u und v.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ah vielen Dank, jetzt hab ichs glaub begriffen und glaub auch richtig, gibt naehmlich eine schöne Lösung!
|
|
|
| |
|
Hallo Marius6d,
> Ah vielen Dank, jetzt hab ichs glaub begriffen und glaub
> auch richtig, gibt naehmlich eine schöne Lösung!
Dann poste doch mal die Lösung.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Marius6d |
also für [mm] x^{part}(t) [/mm] habe ich [mm] t*\vektor{0.5 \\ 0 \\ -0.5} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ -0.5 \\ -0.5} [/mm] bekommen.
|
|
|
| |
|
Hallo Marius6d,
> also für [mm]x^{part}(t)[/mm] habe ich [mm]t*\vektor{0.5 \\ 0 \\ -0.5}[/mm]
> + [mm]\vektor{0 \\ -0.5 \\ -0.5}[/mm] bekommen.
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
|
