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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 31.07.2007 | | Autor: | keks |
| Aufgabe | [mm] y'(x)=\pmat{ 2 & 4 \\ 0 & 2 }*y(x)+b(x)
[/mm]
Bestimme ein Lösungsfundamentalsystem der homogenen Gleichung. |
Für das Lösungsfundametalsystem, muss ich ja [mm] e^{Ax} [/mm] berechnen.
Also ich berechne die Eigenwerte, die sind 2 mit Vielfachheit 2.
Nur dann kommt mein Problem ich muss die Eigenvektoren bestimmen.
Leider bekomme ich nur einen linear unabhänigen Eigenvektor raus [mm] \vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
Was muss ich jetzt tun? Wie finde ich meinen 2. ?
Wenn ich[mm] \pmat{ 2-2 & 4 \\ 0 & 2-2 }^{2} x = 0 [/mm] berechne komm ich irgendwie auch nicht weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> [mm]y'(x)=\pmat{ 2 & 4 \\ 0 & 2 }*y(x)+b(x)[/mm]
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> Bestimme ein Lösungsfundamentalsystem der homogenen
> Gleichung.
> Für das Lösungsfundametalsystem, muss ich ja [mm]e^{Ax}[/mm]
> berechnen.
Diese Methode kenne ich nicht; aber ich kann dir folgendes "Rezept" anbieten:
> Also ich berechne die Eigenwerte, die sind 2 mit
> Vielfachheit 2.
Diese musst du nicht mehr berechnen, du kannst sie deiner Matrix direkt entnehmen, da sie (obere) Dreiecksgestalt hat. An der Dimension (=1) des zugehörigen Eigenraums erkennst du, dass die Matrix nicht diagonalisiert werden kann. Daher kannst du dir die Berechnung des Eigenvektors ersparen. Jetzt geht die Arbeit aber an:
1) Schreibe dein System als 2 Gleichungen. Die zweite ist wegen der Dreiecksform der Matrix einfach und du findest eine Lösung.
2) Setze die unter Punkt1) gefundene Lösung in die erste Diff.-gleichung ein und löse diese mit den Methoden der "lineren Differntialgleichung mit konstanten Koeffizienten".
3)Setze die unter 1) und 2) gefundenen Lösungen zu einem Lösungsvektor zusammen.
Waren meine Erklärungen zu knapp, so melde dich bitte nochmal.
Gruß korbinian
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