homogene Differentialgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
[mm] y' = 1 + \bruch{y}{t} + \bruch{y^2}{t^2} [/mm]
mit [mm] y\left(1\right) = 1 [/mm] |
Hallo,
also ich habe diese Aufgabe nach diesem Ansatz gelöst:
[mm] y\left(t\right) [/mm] ist Lösung von
[mm] y' = g \left(\bruch{y}{t}\right) [/mm]
mit [mm] y\left(t_0\right) = y_0 [/mm]
genau dann, wenn
[mm] z := \bruch{y}{t} [/mm] mit [mm] z_0 := \bruch{y_0}{t_0} [/mm]
Lösung von
[mm] z' = \bruch{g\left(z\right)-z}{t} [/mm]
Okay, [mm] g\left(z\right) = 1 + z + z^2[/mm]
Also ist
[mm] \bruch{g\left(z\right)-z}{t} = \bruch{1+z^2}{t} [/mm]
Das Ganze löse ich nun nach dem Prinzip der getrennten Veränderlichen, mit:
[mm] h\left(t\right) = \bruch{1}{t}[/mm] und
[mm] g\left(z\right) = 1+z^2[/mm]
[mm] ln\left(t\right) - ln\left(1\right) = \integral_{1}^{t}\bruch{1}{s} ds}= \integral_{1}^{z}\bruch{1}{1+s^2} ds}= arctan\left(z\right)-arctan\left(1\right) [/mm]
Also:
[mm] ln\left(t\right) = arctan\left(z\right)[/mm]
und somit:
[mm] z = tan\left(ln\left(t\right)\right)[/mm]
und damit ist
[mm] y\left(t\right) = \bruch{tan\left(ln\left(t\right)\right)}{t}[/mm]
Das sieht für mich soweit alles richtig aus, nur ist hier
[mm] y\left(1\right) = 0[/mm]
Also wo ist der Fehler?
|
|
| |
|
Hallo coffeee5000,
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>
> [mm] y' = 1 + \bruch{y}{t} + \bruch{y^2}{t^2}[/mm]
>
> mit [mm]y\left(1\right) = 1 [/mm]
> Hallo,
>
> also ich habe diese Aufgabe nach diesem Ansatz gelöst:
>
> [mm]y\left(t\right)[/mm] ist Lösung von
>
> [mm] y' = g \left(\bruch{y}{t}\right) [/mm]
>
> mit [mm]y\left(t_0\right) = y_0 [/mm]
>
> genau dann, wenn
>
> [mm] z := \bruch{y}{t} [/mm] mit [mm] z_0 := \bruch{y_0}{t_0} [/mm]
>
> Lösung von
>
> [mm] z' = \bruch{g\left(z\right)-z}{t} [/mm]
>
> Okay, [mm] g\left(z\right) = 1 + z + z^2[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]\bruch{g\left(z\right)-z}{t} = \bruch{1+z^2}{t} [/mm]
>
> Das Ganze löse ich nun nach dem Prinzip der getrennten
> Veränderlichen, mit:
>
> [mm] h\left(t\right) = \bruch{1}{t}[/mm] und
>
> [mm] g\left(z\right) = 1+z^2[/mm]
>
> [mm] ln\left(t\right) - ln\left(1\right) = \integral_{1}^{t}\bruch{1}{s} ds}= \integral_{1}^{z}\bruch{1}{1+s^2} ds}= arctan\left(z\right)-arctan\left(1\right)[/mm]
>
> Also:
>
> [mm] ln\left(t\right) = arctan\left(z\right)[/mm]
>
> und somit:
>
> [mm] z = tan\left(ln\left(t\right)\right)[/mm]
Hier muss nach vorhergender Gleichung stehen:
[mm]z = tan\left( \ ln\left(t\right)\red{+\arctan\left(1\right)} \ \right)[/mm]
>
> und damit ist
>
> [mm] y\left(t\right) = \bruch{tan\left(ln\left(t\right)\right)}{t}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]y\left(t\right)=\red{t}*z\left(t\right)=t*tan\left( \ ln\left(t\right)+\arctan\left(1\right)\ \right)[/mm]
> Das sieht für mich soweit alles richtig aus, nur ist hier
>
> [mm] y\left(1\right) = 0[/mm]
>
> Also wo ist der Fehler?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ahja, also das
[mm]y\left(t\right)=t*z\left(t\right)=t*tan\left( \ ln\left(t\right)+\arctan\left(1\right)\ \right)[/mm]
hatte ich nur falsch eingegeben, jetz sehe ich meinen Fehler, ich hatte irgendwie
[mm]\arctan\left(1\right)\ \right) = 0[/mm] gesetzt.
Merci
|
|
|
|
