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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Di 18.08.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Textteil aus dem Skript:
Das charakteristische Polynom [mm] p(\lambda) [/mm] und die DGL p(D)u=0
Die Polynome werden in der Regel in einer normierten From verwendet. Das bedeutet, dass der Koeffizient vor dem Glied der höchsten Ordnung stets Eins ist.
Wir betrachten [mm] p(\lambda) [/mm] und seine Nullstellen:
[mm] p(\lambda)= (\lambda-\lambda_{1})^{v_{1}} [/mm] * ... * [mm] (\lambda-\lambda_{m})^{v_{m}} [/mm] mit [mm] v_{1} [/mm] + ... + [mm] v_{m} [/mm] = n
Der Koeffizient vor [mm] \lambda^n [/mm] ist Eins! Die Vielfachheit der Nullstelle [mm] \lambda_{i} [/mm] wurde mit [mm] v_{i} [/mm] bezeichnet.
Die Nullstellen können komplex sein!
Die Partialbruchzerlegung des reziproken Polynom lässt sich darstellen als:
[mm] 1/p(\lambda) [/mm] = [mm] (q_{1}(\lambda))/((\lambda-\lambda_{1})^{v_{1}}) [/mm] + ... + [mm] (q_{m}(\lambda)/((\lambda-\lambda_{m})^{v_{m}}) [/mm] , deg [mm] q_{k} [/mm] = [mm] v_{k} [/mm] - 1
Nach Umstellung erhalten wir die Beziehung:
1 = [mm] \summe_{k=1}^{m} q_{k}(/lambda) [/mm] * [mm] p_{k}(/lambda)
[/mm]
mit [mm] p_{k}(/lambda)= \produkt_{j=1}^{m} (/lambda-/lambda_{j})^{v_{j}}
[/mm]
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Hallo :)
Also, ich verstehe das Obige bis zu einem gewissen Punkt. Nämlich bis dahin, wo es mit dem reziproken Polynom anfängt.
So wie ich es anscheinend sehe, wollen wir das Polynom p(/lambda) gleich 1 setzen. Warum? Und warum mit dem reziproken Polynom und dann mit Partialbruchzerlegung? Verstehe den Sinn dahinter irgendwie nicht...
Hoffe mir kann jemand helfen!
GLG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Textteil aus dem Skript:
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> Das charakteristische Polynom [mm]p(\lambda)[/mm] und die DGL
> p(D)u=0
> Die Polynome werden in der Regel in einer normierten From
> verwendet. Das bedeutet, dass der Koeffizient vor dem Glied
> der höchsten Ordnung stets Eins ist.
> Wir betrachten [mm]p(\lambda)[/mm] und seine Nullstellen:
> [mm]p(\lambda)= (\lambda-\lambda_{1})^{v_{1}} * ... * (\lambda-\lambda_{m})^{v_{m}}[/mm] mit [mm]v_{1} + ... + v_{m} = n[/mm]
>
> Der Koeffizient vor [mm]\lambda^n[/mm] ist Eins! Die Vielfachheit
> der Nullstelle [mm]\lambda_{i}[/mm] wurde mit [mm]v_{i}[/mm] bezeichnet.
> Die Nullstellen können komplex sein!
> Die Partialbruchzerlegung des reziproken Polynom lässt
> sich darstellen als:
>
> [mm]1/p(\lambda) = (q_{1}(\lambda))/((\lambda-\lambda_{1})^{v_{1}}) + ... + (q_{m}(\lambda)/((\lambda-\lambda_{m})^{v_{m}})[/mm] , deg [mm]q_{k} = v_{k} - 1[/mm]
>
> Nach Umstellung erhalten wir die Beziehung:
>
> [mm]1 = \summe_{k=1}^{m} q_{k}(\lambda) * p_{k}(\lambda)[/mm]
> mit [mm]p_{k}(\lambda)= \produkt_{j=1}^{m} (\lambda-\lambda_{j})^{v_{j}}[/mm]
>
> .
> .
> .
> Hallo :)
>
> Also, ich verstehe das Obige bis zu einem gewissen Punkt.
> Nämlich bis dahin, wo es mit dem reziproken Polynom
> anfängt.
> So wie ich es anscheinend sehe, wollen wir das Polynom
> [mm] $p(\lambda)$ [/mm] gleich 1 setzen.
Nein. Die Partialbruchzerlegung des reziproken Polynoms wird wieder mit [mm] $p(\lambda)$ [/mm] multipliziert. Dabei ergibt sich die Formel; allerdings muss es bei der zweiten Summe
[mm]p_{k}(\lambda)= \produkt_{\substack{j=1\\j\not=k}}^{m} (\lambda-\lambda_{j})^{v_{j}}[/mm]
heißen, da in jedem Summanden der Partialbruchzerlegung durch den Nenner gekürzt wird.
Tipp: Rechne es dir mal für einen einfachen Fall durch, z.B. m=2, [mm] $v_1=v_2=1$!
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 18.08.2009 | | Autor: | uecki |
Ok....Danke schonmal.
Einfach durchrechnen wird nicht das Problem sein denke ich.
Ich verstehe den Sinn davon einfach nicht.
Also warum ich das reziproke Polynom nehme und dann mit Partialbruchzerlegung darstelle???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das charakteristische Polynom ist das NENNERpolynom, deshalb [mm] p(\lambda)^{-1}=\bruch{1}{p(\lambda)} [/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 18.08.2009 | | Autor: | uecki |
Und warum wendet man das dann auf das Polynom p(/lambda) an? Was will ich damit denn zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wenn du die rationale Funktion [mm] f(x)=\bruch{6}{2x^2+4x+2} [/mm] hast, wie führst du dann eine Partialbruchzerlegung durch?
Du schaust dir das Nennerpolynom [mm] p(\lambda)=2x^2+4x+2 [/mm] an, normierst es und organisierst dir die Nullstellen. Was passiert dann? Du schreibst:
[mm] \bruch{1}{p(\lambda)}=\bruch{q_1}{\lambda-\lambda_1}+\bruch{q_2}{\lambda-\lambda_2}
[/mm]
Links siehst du genau dein angesprochenes Polynom.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 23.09.2009 | | Autor: | uecki |
Warum muss j eigentlich [mm] \not= [/mm] k sein ?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mi 23.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Warum muss j eigentlich [mm]\not=[/mm] k sein ?
Das habe ich geschrieben: weil du gegen den jeweiligen Nenner der Partialbruchzerlegung, also [mm] $\bruch{1}{(\lambda-\lambda_k)^{\nu_k}}$ [/mm] kürzt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 23.09.2009 | | Autor: | uecki |
Das verstehe ich nicht richtig. Dann bleibt doch am Ende ein Summand der Partialbruchzerlegung übrig der nicht gekürzt wurde...???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 23.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das verstehe ich nicht richtig. Dann bleibt doch am Ende
> ein Summand der Partialbruchzerlegung übrig der nicht
> gekürzt wurde...???
Ich glaube, du verwechselst gerade Summe und Produkt: die Summe geht von 1 bis n, in jedem Summanden steht ein Produkt aus n-1 Termen:
[mm] 1 = \summe_{k=1}^{m}\left( q_{k}(\lambda) \cdot{} \produkt_{\substack{j=1\\j\not=k}}^{m} (\lambda-\lambda_{j})^{v_{j}}\right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 23.09.2009 | | Autor: | uecki |
Oh man. Jetzt hab ich es. Manchmal steht man einfach auf dem Schlauch.Danke!
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