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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo kann mir jemand bitte erklären wie ich diese Aufgabe löse???
y''-3y'-4y-16x=0
dazu
a) Lösungen der zugehörigen homogenen DGL
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also mal das grundsätzliche vorgehen: die homogene differentialgleichung erhält man einfach indem man den term, in dem kein $y$ vorkommt weglässt, in diesem fall also:
[m] y'' - 3y' - 4y = 0 [/m].
nun beschafft man sich die zugehörige charakteristische gleichung in dem man einfach die $i$-te ableitung von $y$ durch die $i$-te potenz einer variablen z.b. [mm] $\lambda$ [/mm] ersetzt, also geht $y$ über in [mm] $\lambda^0 [/mm] = 1$, $y'$ in [mm] $\lambda^1 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm] und $y''$ in [mm] $\lambda^2$ [/mm] usw. man erhält also als charakteristisches polynom dieser differentialgleichung
[m] \lambda^2 - 3 \lambda - 4 = 0 [/m].
diese quadratische gleichung löst man nun und erhält die beiden eigenwerte der differentialgleichung [mm] $\lambda_1, \; \lambda_2$ [/mm] als lösung dieser gleichung - hier also [mm] $\lambda_1 [/mm] = 4$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] = -1$ (sofern ich mich nicht verrechnet habe). sind die beiden werte verschieden (was hier ja offensichtlich der fall ist), so hat die lösung die folgende gestalt
[m] y(x) = C_1 \textrm{e}^{\lambda_1 x} + C_2 \textrm{e}^{\lambda_2 x} [/m]
[mm] ($C_1, C_2 \in \mathbb{R}$). [/mm] hätte das characteristische polynom eine mehrfache nullstelle, so würden die lösungen etwas anders aussehen, das sollte aber in jedem vernünftigen skript stehen.
die lösung für die ursprüngliche differentialgleichung erhält man nun durch variation der konstanten.
ich hoffe das kann man nachvollziehen, wenn nicht frage nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
ja danke das hab ich gut verstanden
b) eine spezielle Lösung der DGL(Ansatz vom Typ der rechten Seite [mm] y_p=ax+b)
[/mm]
kann mir das bitte auch jemand so gut erklären???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
es steht ja im prinzip schon da, was du machen musst, da die form der lösung als
[m] y_p(x) = ax + b [/m]
schon vorgegeben ist. diese funktion zweimal ableiten und in die differentialgleichung einsetzen und aus den daraus gewonnen bedingungen die koeffizienten $a$ und $b$ bestimmen.
probiere das mal, wenn du nicht weiterkommst kannst du ja nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
danke also ich fang mal an
[mm] y_p(x) [/mm] = ax+b
[mm] y_p'(x) [/mm] = x
[mm] y_p''(x) [/mm] = 1
so nun einsetzen in diese Gleichung wenn ich dich richtig verstanden habe
y''-3y'-4y-16x = 0
1-3x-4(ax+b)-16x=0
so und wie nun weiter ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also über die ableitungen solltest du nochmal nachdenken. es gilt doch z.b. für [m] y(x) = 2x + 5 [/m], dass [m] y'(x) = 2 [/m] ist, da kommt also kein $x$ mehr vor!
das einsetzen ist im prinzip schon richtig nur stimmen eben die ableitungen nicht, wenn du die nochmal nachgerechnet hast setze nochmal ein und sortiere dann nach termen, die konstant sind und termen die $x$ enthalten. was muss dann für die koeffizienetne [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_0$ [/mm] in der gleichung
[m] a_1 x + a_0 = 0 [/m]
gelten, damit sie für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] erfüllt ist? und was hat das mit deinem problem zu tun?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
ähm ja stimmt hab ich mich in der Eile wohl vertan
[mm] y_p [/mm] = ax+b
[mm] y_p' [/mm] = a
[mm] y_p'' [/mm] = 0
so einsetzen
0-3a-4(ax+b)-16x = 0
aber den Rest hab ich jetzt nicht weiter verstanden was ich dann machen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
das sieht jetzt ganz gut aus. wenn du das nun nach den $x$-potenzen sortierst, so erhälst du
[m] (-4a - 16)x + (-3a - 4b) = 0 [/m]
oder mit $(-1)$ durchmultipliziert
[m] (4a + 16)x + (3a + 4b) = 0 [/m].
da diese gelichung nun für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] gelten muss, sieht man entweder sofort, dass die beiden koeffizienten null sein müssen oder man kann einfach mal $x=0$ und $x=1$ einsetzen und erhält dann bedingungen für $a$ und $b$. wenn man dieses lineare gleichungssystem gelöst hat kann man ja einfach mal die funktion, die man erhalten hat in die differentialgleichung einsetzen und sieht dann sofort, ob dies eine lösung ist, man hat also bei solchen problemen eine einfache rechenkontrolle.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
Danke jetzt hab ichs geschnallt
c) Anfangswertproblem lösen für y'(0)=0 y(0)=4
wie gehe ich da vor???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wie sieht denn nun deine allgemeine lösung, die sich als summe der partikulären und homogenen lösung ergibt, aus? wenn du diese hast sollten darin noch zwei parameter auftauchen, die du mithilfe der anfangsbedingungen, die du gegeben hast bestimmen können solltest. probiere das doch mal und melde dich mit ansätzen wieder!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
danke das du so viel Geduld mit mir hast, aber leider hab ich nicht so richtig verstanden was ich jetzt machen soll
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Hallo mausi,
die allgemein Lösung der DGL ist:
[mm]\begin{gathered}
y\left( x \right)\; = \;c_1 \;e^{4x} \; + \;c_2 \;e^{ - x} \; - 4\;x\; + \;3 \hfill \\
y'\left( x \right)\; = \;4c_1 \;e^{4x} \; - \;c_2 \;e^{ - x} \; - 4 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Um nun eine spezielle Lösung für die Anfangsbedingungen zu bekommen,
setzt Du die Anfangsbedingung y(0) einfach in obige Gleichung ein.
Für die Anfangsbedingung y'(0) mußt Du die allgemeine Lösung ableiten und diese Anfangsbedingung einsetzen.
Konkret:
[mm]
\begin{gathered}
y\left( 0 \right)\; = \;c_1 \; + \;c_2 \; + \;3\; = \;4 \hfill \\
y'\left( 0 \right)\; = \;4c_1 \; - \;c_2 \; - \;4\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem, aus dem die Unbekannten zu ermitteln sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
dankeschön aber mir is noch nicht so ganz klar wie du auf
y(x) = .....-4x+3 kommst der rest is klar
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Hallo mausi,
andreas schrieb ja unter anderem:
[mm]\left( {4a\; + \;16} \right)\;x\; + \;\left( {3a\; + \;4b} \right)\; = \;0[/mm]
Damit die Gleichung für alle x erfüllt ist muß gelten:
[mm]
\begin{gathered}
4a\; + \;16\; = \;0 \hfill \\
3a\; + \;4b\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
woraus a=-4 und b=3 folgen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
Dankeschön jetzt is mir alles klar
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