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Sagen wir [mm] f:D\to\IC [/mm] für [mm] D\subseteq\IC [/mm] offen, ist holomorphe Funktion.
1) Ist dann f' ebenfalls auf dem selben Gebiet, D, holomorph?
2) Ist [mm] g:E\to\IC [/mm] für [mm] E\subseteq\IC [/mm] offen mit [mm] z\mapsto [/mm] -z holomorph?
Wenn ja, ändert sich in irgend einer Art das Gebiet von f wenn g auf f angewandt wird? z.B wenn D die Ebene ist mit Realteil [mm] \ge [/mm] 3, dass diese dann zur Ebene mit Realteil [mm] \ge [/mm] -3 wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.) Ja. ist f komplex differenzierbar (=holomorph), so ist f' das auch. d.h. ist f einmal komplex differenzierbar, so ist f direkt unendlich oft komplex differenzierbar. Das ist das schöne an holomorphen Funktionen. :)
Aus Zeitgründen kommt der Rest später.
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Ja aber auch im selben Gebiet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja genau.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, zum 2. Teil:
$g(z)=-z$ ist holomorph auf ganz [mm] \IC, [/mm] da es ein Polynom ist. Wenn g auf f angewendet wird, erhälts du [mm] $g\circ [/mm] f=-f$. Anschaulich wird das Bild von f dann am Mittelpunkt der komplexen Zahlenebene gespiegelt. z.B. wird ja aus 1+i dann -1-i.
D würde dann die Halbebene sein mit Realteil [mm] $\le [/mm] -3$.
Wie habt ihr holomorph eigentlich definiert?
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über komplex differenzierbarkeit wird doch das definiert oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Studiert ihr zusammen? :)
Also wenn ihr das über komplex differenzierbar gemacht habt, dann kann man ja auch schnell sehen, dass g(z)=-z holomorph ist, da es die Ableitung g'(z)=-1 hat. Die Ableitungsregeln bleiben wie in [mm] \IR [/mm] erhalten.
Edit: Bei mir wurde das so gemacht: Holomorph sind Funktionen, die man um jeden Punkt in eine Potenzreihe entwickeln kann (mit irgendeinem Konvergenzradius >0). z.B. kannst du [mm] f(z)=\frac{1}{1-z} [/mm] um 0 als [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] schreiben (für |z|<1). Man kann f aber auch um jeden anderen Punkt [mm] z_0 [/mm] in eine Reihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] schreiben, außer um 1, da geht das nicht. Daher wäre f holomorph auf [mm] \IC\backslash\{1\}.
[/mm]
Nach eurer Definition kommt man aber auch darauf, weil man f einfach ableiten kann und alles außer 1 in die Ableitung einsetzen kann. Das ist auch nicht verwunderlich, weil beide Begriffe genau gleich sind. Um das zu beweisen, muss man allerdings schon eine Menge tun.
Aber da ableiten wohl einfacher ist, definieren viele Leute holomorph einfach als komplex differenzierbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Do 09.08.2012 | | Autor: | lukas10000 |
ja *g*, waren bei dem verschiedener meinung und wollten das klären
was wäre denn die andere herleitung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Siehe oben.
Aber wie gesagt, beide Definitionen sind gleichwertig. Wikipedia macht das auch über komplexe Differenzierbarkeit. :) Man kann das auch an einfachen Beispielen testen.
f(z)=z ist [mm] holomorph=\IC-diffbar [/mm] auf ganz [mm] \IC. [/mm] Die Ableitung ist ganz klar 1, aber man kann f auch als Potenzreihe um jeden Punkt a schreiben, nämlich als [mm] f(z)=a+(z-a)^1. [/mm] Der Konvergenzradius der "Reihe" (hier sind nur die ersten beiden Summanden übrig geblieben, der Rest ist 0) ist hier sogar unendlich.
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