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| Aufgabe | [mm] f:\IC->\IC [/mm] holomorphe Funktion mit [mm] |f(z)|\le C|z|^k [/mm] für ein [mm] k\in \IN, C\in \IR.
[/mm]
Zu zg. f ist ein Polynom mit [mm] deg(f)\le [/mm] k |
Hallo, mein Ansatz wäre:
ich komme auf g(z):= [mm] \frac{f(z)-c_0-c_1z-...-c_{k-1}z^{k-1}}{z^k}. [/mm] Will nun zeigen, dass g holomorph und beschränkt ist,dh. konstant um dann die Behauptung zu kriegen, ist mein Ansatz so richtig?
|g(z)|=| [mm] \frac{f(z)-c_0-c_1z-...-c_{k-1}z^{k-1}}{z^k}|= |\frac{f(z)}{z^k}-\frac{c_0}{z^k}-...\frac{c_{k-1}z^{k-1}}{z^k}| [/mm] Kann ich nun irgendwie die Beträge reinziehen, oder wie kann ich nun abschätzen und dabei
die Voraussetzung [mm] |f(z)|\le C|z|^k, [/mm] also [mm] \frac{|f(z)|}{z^k}\leC [/mm] benutzen ?D.h. bin mir nicht sicher, wie der Abschätzungsschritt genau aussehen muss. Wie kann ich nun genau begründen, dass g beschränkt ist?
Oder ist das alles nicht richtig bisher?
Würde mich über Hilfe freuen.LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion [mm] f(z)/z^k [/mm] hat in z=0 eine hebbare Singularität, kann also auf [mm] \IC [/mm] zu einer beschränkten ganzen Funktion holomorph fortgesetzt werden.
Hilft das ?
FRED
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Hi, hmm, ist dann mein Asnatz nicht zu gebrauchen? Wie sieht denn so eine holomorphe Fortsetzung aus, irgentwie verstehe ich das nicht so ganz..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen [mm] g(z):=f(z)/z^k [/mm] für z [mm] \in \IC [/mm] \ {0}
Dann ist |g(z)| [mm] \le [/mm] C für z [mm] \in \IC [/mm] \ {0}. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat g in z=0 eine hebbare Singularität.
Also gibt es eine ganze Funktion h mit g=h auf [mm] \IC [/mm] \ {0}.
Damit ist h auf [mm] \C [/mm] beschränkt. Der Satz von Liouville liefert: h ist konstant.
Es gibt also eine Konstante d mit h(z)=d für z [mm] \in \IC [/mm] .
Für für z [mm] \in \IC [/mm] \ {0} gilt also: [mm] f(z)=dz^k.
[/mm]
Mit z [mm] \to [/mm] 0 folgt: f(0)=0.
Fazit: [mm] f(z)=dz^k [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
FRED
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