holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Vielleicht ist diese Aufgabe hier ja doch etwas einfacher:
(a) Es seien [mm] \Omega\subset\IC [/mm] ein Gebiet und f eine holomorphe Funktion auf [mm] \Omega [/mm] mit [mm] f(z)\not=0 [/mm] für [mm] z\in\Omega. [/mm] Zeigen, dass dann [mm] \Delta(|f|^{\alpha})=\alpha^2|f|^{\alpha-2}|f'|^2 [/mm] für alle [mm] \alpha\in\IR. [/mm] Beweise hierzu, dass
[mm] \partial\overline{\partial}(\Psi°(f\overline{f})) [/mm] = [mm] (\varphi °|f|^2)|f'|^2,
[/mm]
wobei [mm] \Psi [/mm] zweimal differenzierbar ist auf [mm] (0,\infty), [/mm] und [mm] \varphi(t)=t\Psi''(t)+\Psi'(t).
[/mm]
(b) Es seien f eine holomorphe Funktion auf [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Phi [/mm] eine komplexe Funktion auf [mm] f(\Omega) [/mm] mit stetigen partiellen zweiten Ableitungen. Zeige, dass [mm] \Delta(\Phi°f) [/mm] = [mm] ((\Delta\Phi)°f)|f'|^2.
[/mm]
Kann mir hierbei jemand helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Aufgabe ist, denke ich, nicht so schwierig.
Beachte einfach, dass
[mm] $\Delta=4 \partial \bar{\partial} [/mm] = [mm] 4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}}$
[/mm]
gilt und beachte die Rechenregeln
[mm] $\frac{\partial f}{\partial z} [/mm] = [mm] \overline{ \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} [/mm] = [mm] \overline{ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z}}$.
[/mm]
Nun einfach mit der Kettenregel ableiten und es sollte dastehen. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Beachte einfach, dass
>
> [mm]\Delta=4 \partial \bar{\partial} = 4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \bar{z}}[/mm]
>
> gilt und beachte die Rechenregeln
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial z} = \overline{ \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \overline{ \frac{\partial \bar{f}}{\partial z}}[/mm].
>
> Nun einfach mit der Kettenregel ableiten und es sollte
> dastehen.
Also, ich weiß nicht so ganz, ob das nun zum ersten oder zum zweiten Teil gehört, aber ich habe mal mit dem ersten angefangen. Hast du den zweiten übersehen, fällt dir dazu nichts ein oder soll ich das selber machen? 
Wahrscheinlich hab ich's viel zu kompliziert gemacht und zu viel "ausgerechnet", aber ich hab' jetzt mal so angefangen:
[mm] \overline{\partial}(\Psi°(f\overline{f})) [/mm] = [mm] \bruch{\partial(\Psi°(f\overline{f}))}{\partial{\overline{z}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\partial(\Psi°(f\overline{f}))}{\partial{x}}+i\bruch{\partial(\Psi°(f\overline{f}))}{\partial{y}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\partial{\Psi(f\overline{f})}}{\partial{x}}*\bruch{\partial{f\overline{f}}}{\partial{x}}+i\bruch{\partial{\Psi(f\overline{f})}}{\partial{y}}*\bruch{\partial{f\overline{f}}}{\partial{y}})
[/mm]
Bis hierhin glaube ich eigentlich, dass ich nichts Falsches gemacht habe, ich weiß nur nicht, ob ich das soweit überhaupt brauche oder ob ich das lieber irgendwie anders schreibe... Und weiter dann so:
[mm] \partial{\overline{\partial}(\Psi°(f\overline{f}))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(\bruch{\partial^2{\Psi(f\overline{f})}}{\partial^2{x}}*\bruch{\partial{f\overline{f}}}{\partial{x}}+\bruch{\partial{\Psi(f\overline{f})}}{\partial{x}}*\bruch{\partial^2{f\overline{f}}}{\partial^2{x}} [/mm] - [mm] i(\bruch{\partial^2{\Psi(f\overline{f})}}{\partial^2{y}}*\bruch{\partial{f\overline{f}}}{\partial{y}}+\bruch{\partial{\Psi(f\overline{f})}}{\partial{y}}*\bruch{\partial^2{f\overline{f}}}{\partial^2{y}})
[/mm]
Hier habe ich allerdings das Gefühl, dass ich irgendwie noch eine innere Ableitung vergessen habe, aber ich finde das Ganze etwas unübersichtlich und weiß nicht recht, wie ich jetzt weiterkommen soll.
Ich sehe auch noch nicht so ganz den Zusammenhang zwischen dem zu Beweisenden und dem "Tipp", und ich weiß auch nicht, wo das t von [mm] \varphi(t) [/mm] herkommt bzw. wo ich es bei mir vernünftig reinschreiben soll.
Vielleicht ist es aber auch einfach nur zu heiß heute - ich hoffe, du kannst noch denken bzw. rechnen?
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Christiane!
Ich rechne dir Teil a) jetzt komplett vor; das würde zu lange dauern mit Korrigieren, Tipps geben etc., und die Zeit habe ich nicht. Vielleicht kannst du ja Teil b) dann selber hinbekommen, das geht nämlich genauso.
Also, zunächst einmal haben wir mit der Kettenregel:
$\partial \overline{\partial}( \psi \circ (f\bar{f}) )$
$= \partial \left(\psi'(f\bar{f}) \cdot f \cdot \frac{\partial{\bar{f}}}{\partial{\bar{z}}} \right)$
$= \psi''(f\bar{f}) \cdot f \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \cdot \bar{f} \frac{\partial f}{\partial z} + \psi'(f\bar{f}) \cdot \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}$
$= \psi''(|f|^2) \cdot f \overline{\frac{\partial f}{\partial z}} \cdot \bar{f} \frac{\partial f}{\partial z} + \psi'(|f|^2) \cdot \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \overline{\frac{\partial f}{\partial z}}}$
$= \psi''(|f|^2) \cdot |f|^2 \cdot |f'|^2+ \psi'(|f|^2) \cdot |f'|^2$
$= (|f|^2\psi''(|f|^2) + \psi'(|f|^2)) \cdot |f'|^2$
$=\varphi(|f|^2) \cdot |f'|^2$
mit
$\varphi(t)=t\psi''(t) + \psi'(t)$.
Daraus folgt nun mit
$\psi(z) = |z|^{\frac{\alpha}{2}}$:
$\Delta(|f|^{\alpha})$
$= 4 \partial \bar{\partial} (\psi \circ |f|^2)$
[nach obigem]
$= 4 \cdot (|f|^2 \psi''(|f|^2) + \psi'(|f|^2))|f'|^2$
$= 4 \cdot \left (|f|^2 \cdot \frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{\alpha}{2}-1 \right) \left(|f|^2\right)^{\frac{\alpha}{2}-2} + \frac{\alpha}{2} \left(|f|^2\right)^{\frac{\alpha}{2}-1} \right) \cdot |f'|^2$
$=4 \cdot \left( \frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{\alpha}{2}-1 \right) |f|^{\alpha-2} + \frac{\alpha}{2} |f|^{\alpha-2} \right) \cdot |f'|^2$
$= 4 \cdot \left( \frac{\alpha^2}{4} |f|^{\alpha-2} \right) \cdot |f'|^2$
$=\alpha^2 |f|^{\alpha-2}|f'|^2$.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Vielen Dank für die Hilfe, da waren doch noch viele Sachen, die ich einfach nicht wusste... Und dazu gleich auch noch ein paar Fragen, dann müsste ich die zweite hoffentlich alleine schaffen.
> Also, zunächst einmal haben wir mit der Kettenregel:
>
> [mm]\partial \overline{\partial}( \psi \cdot(f\bar{f}) )[/mm]
>
> [mm]= \partial \left(\psi'(f\bar{f}) \cdot f \cdot \frac{\partial{\bar{f}}}{\partial{\bar{z}}} \right)[/mm]
Wenn ich die Kettenregel hier richtig anwende, dann heißt das doch: [mm] \overline{\partial}(f\overline{f})=f\bruch{\partial{\overline{f}}}{\partial{\overline{z}}}, [/mm] oder? Aber warum?
Also, wenn ich das mit Worten versuche auszudrücken, dann würde ich sagen, dass die Ableitung von [mm] \overline{\partial} [/mm] nur etwas ergibt, wenn ich auch [mm] \overline{f} [/mm] habe, und ansonsten bleibt das f einfach. Aber das ist wohl keine mathematische Begründung...
> [mm]= \psi''(f\bar{f}) \cdot f \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}} \cdot \bar{f} \frac{\partial f}{\partial z} + \psi'(f\bar{f}) \cdot \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}[/mm]
>
> [mm]= \psi''(|f|^2) \cdot f \overline{\frac{\partial f}{\partial z}} \cdot \bar{f} \frac{\partial f}{\partial z} + \psi'(|f|^2) \cdot \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \overline{\frac{\partial f}{\partial z}}}[/mm]
>
> [mm]= \psi''(|f|^2) \cdot |f|^2 \cdot |f'|^2+ \psi'(|f|^2) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> [mm]= (|f|^2\psi''(|f|^2) + \psi'(|f|^2)) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> [mm]=\varphi(|f|^2) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\varphi(t)=t\psi''(t) + \psi'(t)[/mm].
>
> Daraus folgt nun mit
>
> [mm]\psi(z) = |z|^{\frac{\alpha}{2}}[/mm]:
>
>
> [mm]\Delta(|f|^{\alpha})[/mm]
>
> [mm]= 4 \partial \bar{\partial} (\psi \circ |f|^2)[/mm]
>
> [nach obigem]
>
> [mm]= 4 \cdot (|f|^2 \psi''(|f|^2) + \psi'(|f|^2))|f'|^2[/mm]
>
> [mm]= 4 \cdot \left (|f|^2 \cdot \frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{\alpha}{2}-1 \right) \left(|f|^2\right)^{\frac{\alpha}{2}-2} + \frac{\alpha}{2} \left(|f|^2\right)^{\frac{\alpha}{2}-1} \right) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> [mm]=4 \cdot \left( \frac{\alpha}{2} \cdot \left( \frac{\alpha}{2}-1 \right) |f|^{\alpha-2} + \frac{\alpha}{2} |f|^{\alpha-2} \right) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> [mm]= 4 \cdot \left( \frac{\alpha^2}{4} |f|^{\alpha-2} \right) \cdot |f'|^2[/mm]
>
> [mm]=\alpha^2 |f|^{\alpha-2}|f'|^2[/mm].
Ich glaub, den Rest hab ich jetzt, sonst frage ich wohl morgen nochmal nach.
Aber noch eine etwas blödere Frage - bitte nicht verzweifelt den Kopf schütteln...
Du schreibst ganz am Anfang [mm] \psi \cdot(f\bar{f}), [/mm] in der Aufgabenstellung hieß es aber [mm] \psi°(f\overline{f}) [/mm] - ist das das Gleiche? Irgendwie hat es mich verwirrt beim Ableiten. Denn wenn es ein Malpunkt ist, dann bräuchte ich doch eigentlich die Produktregel...
So, und jetzt noch eine Frage zur zweiten, obwohl die hier eigentlich glaube ich auch schon drin steckt:
Was ist [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial\overline{z}}?
[/mm]
Und warum ist eigentlich [mm] {\overline{\partial}\psi}=\psi'?
[/mm]
Und deine allererste Formel im ersten Beitrag, mit [mm] \Delta [/mm] =4*... - wo kommt die her? Irgendwie fällt mir das gerade nicht so ganz ein...
Viele Grüße
Christiane
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Wenn ich die Kettenregel hier richtig anwende, dann heißt
> das doch:
> [mm]\overline{\partial}(f\overline{f})=f\bruch{\partial{\overline{f}}}{\partial{\overline{z}}},[/mm]
> oder? Aber warum?
>
> Also, wenn ich das mit Worten versuche auszudrücken, dann
> würde ich sagen, dass die Ableitung von [mm]\overline{\partial}[/mm]
> nur etwas ergibt, wenn ich auch [mm]\overline{f}[/mm] habe, und
> ansonsten bleibt das f einfach. Aber das ist wohl keine
> mathematische Begründung...
$f$ ist ja holomorph und genügt daher der CR-Differentialgleichung
[mm] $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} [/mm] =0$.
> Aber noch eine etwas blödere Frage - bitte nicht
> verzweifelt den Kopf schütteln...
> Du schreibst ganz am Anfang [mm]\psi \cdot(f\bar{f}),[/mm] in der
> Aufgabenstellung hieß es aber [mm]\psi°(f\overline{f})[/mm] - ist
> das das Gleiche? Irgendwie hat es mich verwirrt beim
> Ableiten. Denn wenn es ein Malpunkt ist, dann bräuchte ich
> doch eigentlich die Produktregel...
Ich hatte mich vertippt und habe es jetzt verbessert.
> So, und jetzt noch eine Frage zur zweiten, obwohl die hier
> eigentlich glaube ich auch schon drin steckt:
>
> Was ist [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial\overline{z}}?[/mm]
Es gilt:
[mm] $\frac{\partial}{\partial \bar{z}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \left( \frac{\partial }{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right)$.
[/mm]
> Und warum ist eigentlich [mm]{\overline{\partial}\psi}=\psi'?[/mm]
Das gilt so nicht. Der erste Ausdruck macht sogar keinen Sinn, weil ja [mm] $\psi$ [/mm] auf [mm] $\IR^+$ [/mm] definiert ist, man also gar nicht nach $z [mm] \in \IC$ [/mm] ableiten kann.
> Und deine allererste Formel im ersten Beitrag, mit [mm]\Delta[/mm]
> =4*... - wo kommt die her? Irgendwie fällt mir das gerade
> nicht so ganz ein...
Es gilt:
[mm] $\partial\bar{\partial} [/mm] = [mm] \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} -i \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} +i \frac{\partial}{\partial y} \right) \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \Delta$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 23.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Also, anscheinend mache ich immer noch etwas falsch:
zur b):
[mm] \Delta(\Phi°{f}) [/mm] = [mm] 4\partial\overline{\partial}(\Phi°{f}) [/mm] = [mm] 4\partial(\Phi'(f)*{\overline{\partial}}f) [/mm] und aus deiner letzten Antwort habe ich entnommen, dass [mm] {\overline{\partial}}f=0 [/mm] ist, aber wahrscheinlich habe ich etwas falsch verstanden...
Jedenfalls würde das so doch dann 0 ergeben, und die zweite Seite der Aufgabenstellung habe ich so umgeformt:
[mm] ((\Delta\Phi)°{f})|f'|^2 [/mm] = [mm] (4\Phi''°{f})|f'|^2 [/mm] = [mm] 4\Phi''(f)|f'|^2
[/mm]
stimmt das so?
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Leider ist mal wieder der Server abgestürzt, als ich auf Senden gehen wollte und alles war weg. Ich hatte es zwar zwischengespeichert, aber es dann aus Versehen wieder gelöscht. Im Moment habe ich keine Lust mehr es noch einmal zu schreiben, aber vielleicht nachher.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
