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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - holomorphe Funktion
holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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holomorphe Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Mo 03.07.2006
Autor: marcstein

Aufgabe
sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] eine holomorphe funktion. überprüfen sie die funktion [mm] g:=\IC\to\IC [/mm] mit
[mm] g:=\overline{f(\overline{z})} [/mm] auf holomorphie.  

hi!

ich habe bei der aufgabe es mit den cauchy-riemann-dgl. versucht. bin aber gescheitert. vielleicht kann mir jemand ein tip geben, wie man so eine aufgabe anpackt.
danke!

ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.

        
Bezug
holomorphe Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Do 06.07.2006
Autor: Leopold_Gast

Wenn dir bekannt ist, daß jede holomorphe Funktion [mm]f: \ \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/mm] eine Potenzreihenentwicklung um [mm]0[/mm] besitzt, die [mm]f[/mm] in ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] darstellt, ist die Aufgabe trivial. Es geht aber auch ohne dieses Wissen direkt mit der Definition der Holomorphie. Da der Definitionsbereich von [mm]f[/mm] ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] ist, sind Holomorphie und komplexe Differenzierbarkeit dasselbe. Betrachte daher für komplexes [mm]h \neq 0[/mm] den Differenzenquotienten von [mm]g[/mm] an der Stelle [mm]z[/mm]:

[mm]\frac{1}{h} \left( g(z+h) - g(z) \right) = \frac{1}{h} \left( \overline{f \left( \overline{z+h} \right)} - \overline{f \left( \overline{z} \right)} \right) = \overline{ \frac{1}{\overline{h}} \left( f \left( \overline{z} + \overline{h} \right) - f \left( \overline{z} \right) \right) }[/mm]

Unter der großen Überstreichung zuletzt steht jetzt aber der Differenzenquotient der Funktion [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]\overline{z}[/mm], wobei [mm]h[/mm] durch [mm]\overline{h}[/mm] ersetzt ist. Das ist aber unproblematisch, da die Grenzübergänge [mm]h \to 0[/mm]  und [mm]\overline{h} \to 0[/mm] sich gegenseitig bedingen.

Was passiert also oben für [mm]h \to 0[/mm]?

Bezug
                
Bezug
holomorphe Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Fr 07.07.2006
Autor: marcstein

hallo leopold!

für h gegen 0 bekomme ich gerade die komplexe ableitung von [mm] \overline{f(\overline{z})}=g(z). [/mm] somit ist g auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph!

vielen dank für den hinweis!!

Bezug
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