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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - holomorphe Fortsetzung
holomorphe Fortsetzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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holomorphe Fortsetzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Sa 06.06.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Zeige dass die Funktion f(z)=sin(z)/z (z [mm] \in \IC [/mm] *) eine holomorphe Fortsetzung auf ganz [mm] \IC [/mm] besitzt.


Hallo,

Wie gehe ich vor um obiges zu zeigen? Im Reellen hätte ich einfach den Grenzwert im Nullpunkt bestimmt... (=1)
        
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Sa 06.06.2015
Autor: fred97


> Zeige dass die Funktion f(z)=sin(z)/z (z [mm]\in \IC[/mm] *) eine
> holomorphe Fortsetzung auf ganz [mm]\IC[/mm] besitzt.
>  
> Hallo,
>  
> Wie gehe ich vor um obiges zu zeigen? Im Reellen hätte ich
> einfach den Grenzwert im Nullpunkt bestimmt... (=1)

Ja, setze f (0):=1,

Dann hast du f zu einer ganzen Funktion fortgesetzt.

Schreibe die potenzreihe von sinus hin, dividiere durch z. Du bekommst eine potenzreihe mit unendlichem konvergenzradius.

Fred

Bezug
                
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Sa 06.06.2015
Autor: Trikolon

Wenn ich also gezeigt habe, dass die so entstandene Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius hat, bin ich fertig?
Bezug
                        
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Sa 06.06.2015
Autor: fred97


> Wenn ich also gezeigt habe, dass die so entstandene
> Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius hat, bin ich
> fertig?

Ja
Fred
Bezug
                                
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Sa 06.06.2015
Autor: Trikolon

Muss ich die holomorphe Fortsetzung nicht noch angeben?
Bezug
                                        
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 So 07.06.2015
Autor: fred97


> Muss ich die holomorphe Fortsetzung nicht noch angeben?

Mann, die lautet:

[mm] f(z)=\bruch{sinz}{z} [/mm]  für z [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=1

FRED

Bezug
                                                
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 07.06.2015
Autor: Trikolon

Sorry, ich habe mich blöd ausgedrückt. Ich meinte, ob ich begründen muss, dass ich f(0)=1 setze?
Bezug
                                                        
Bezug
holomorphe Fortsetzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 So 07.06.2015
Autor: fred97


> Sorry, ich habe mich blöd ausgedrückt. Ich meinte, ob ich
> begründen muss, dass ich f(0)=1 setze?

Eine holomorphe Fortsetzung in 0 ist stetig in 0 ....

FRED

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