hohe potenzen rechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Aladdin |
Guten abend,
ich schreibe demnächst eine Klausur in Zahlentheorie und ein Aufgabenteil wird halt sein, dass man hohe potenzen schnell und geschick berechnen muss.
als Bsp bei diesen beiden Aufgaben komme ich nicht auf ein Ergebnis.
[mm] $7^{82}$ [/mm] mod 100
[mm] $13^{65}$ [/mm] mod 120
ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll.
Die Potenz könnte man ja theoretisch gesehen zerlegen. Nur 82 ist schon ziemlich hoch.. wenn ich das in 40+42 zb aufteile bringt mir es ja auch nicht viel..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Sa 09.05.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ....
> Guten abend,
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> ich schreibe demnächst eine Klausur in Zahlentheorie und
> ein Aufgabenteil wird halt sein, dass man hohe potenzen
> schnell und geschick berechnen muss.
>
> als Bsp bei diesen beiden Aufgaben komme ich nicht auf ein
> Ergebnis.
>
> [mm]7^{82}[/mm] mod 100
> [mm]13^{65}[/mm] mod 120
>
> ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll.
> Die Potenz könnte man ja theoretisch gesehen zerlegen.
> Nur 82 ist schon ziemlich hoch.. wenn ich das in 40+42 zb
> aufteile bringt mir es ja auch nicht viel..
Es gibt da zwei Ansätze zur Berechnung von [mm] $a^b \pmod{n}$:
[/mm]
1) Wenn der Modulus $n$ klein ist und/oder gut faktorisierbar, berechne [mm] $\phi(n)$. [/mm] Wenn $a$ teilerfremd zu $n$ ist, oder wenn $n$ quadratfrei ist, dann gilt [mm] $a^b \equiv a^{b \mod \phi(n)} \pmod{n}$. [/mm] Gerade bei [mm] $\phi(100) [/mm] = [mm] \phi(5^2) \cdot \phi(2^2) [/mm] = 40$ hilft das, da dann [mm] $7^{82} [/mm] = [mm] 7^{2 + 2 \cdot 40} \equiv 7^2 \pmod{100}$ [/mm] ist.
2) Was immer geht, ist der ![[]](/images/popup.gif) Square-and-Multiply-Ansatz, der (bzw. Varianten davon) auch vom Computer verwendet wird, wenn er z.B. für Kryptosysteme wie RSA Potenzen mit riesigen Moduli und Exponenten ausrechnen muss (wenn z.B. $a$, $b$ und $n$ alle in der Grössenordnung von [mm] $2^{2048}$ [/mm] sind). Die Idee ist, den Exponenten $b$ als Binärzahl zu schreiben, etwa [mm] $a^{13} [/mm] = [mm] a^{1 + 4 + 8} [/mm] = [mm] a^{2^0 + 2^2 + 2^3}$. [/mm] Wegen $1 [mm] \cdot 2^3 [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^2 [/mm] + 0 [mm] \cdot 2^1 [/mm] + 1 [mm] \cdot 2^0 [/mm] = (((1 [mm] \cdot [/mm] 2) + 1) [mm] \cdot [/mm] 2 + 0) [mm] \cdot [/mm] 2 + 1$ ist [mm] $a^{13} [/mm] = [mm] a^{(((1 \cdot 2) + 1) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1} [/mm] = [mm] ((a^2 \cdot a)^2)^2 \cdot [/mm] a$, was du mit drei Quadrierungen und zwei Multiplikationen modulo $n$ ausrechnen kannst. Das ist wesentlich weniger als wenn du [mm] $a^{13} [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot \dots \cdot [/mm] a$ ausrechnest (12 Multiplikationen). Im allgemeinen brauchst du mit dieser Methode ca. $2 [mm] \log_2 [/mm] b$ Operationen modulo $n$.
In den Fällen hier ist 1) wohl am einfachsten, 2) ist aber auch gut zu kennen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 09.05.2015 | | Autor: | Aladdin |
Danke,
also,
$ [mm] 13^{65} [/mm] $ mod 120
[mm] $\Phi(120) [/mm] = 32$
$ [mm] 13^{65} [/mm] = [mm] 13^{24+3*32} [/mm] $ mod 120
hmm irgendwie bleibe ich hier stecken, falls es richtig ist.D
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Hi,
zu deinem Ansatz, bzw. dem Tipp von felixf kann ich leider nichts sagen, da ich Zahlentheorie selber leider nie gehört habe, aber solche Aufgaben löse ich total gerne und hier geht es mit ein wenig rechnen, was man noch sehr gut im Kopf hinbekommt, ziemlich einfach.
Und zwar für beide Aufgaben komplett analog, nur mit anderen Zahlen. Aber man macht in beiden Fällen das selbe.
Es ist natürlich immer geschickt wenn man irgendwie erreichen kann, dass man eine 1 oder (-1) als Basis erhält. Denn die lassen sich natürlich leicht potenzieren.
Bei ungeraden Exponenten ist das erste was ich immer tue, den Exponenten um eins verringern.
[mm] $(13)^{65}\mod 120\equiv 13\cdot (13)^{64}\mod [/mm] 120$
Der nächste Schritt wäre nun den Exponenten zu halbieren.
[mm] $13\cdot ((13)^2)^{32})\mod [/mm] 120$
Sicherlich weißt du, dass [mm] $13^2=169=49\mod [/mm] 120$ gilt.
[mm] $13\cdot(49)^{32}\mod [/mm] 120$
So, nun hast du auf jeden Fall schon mal eine 9 als Endziffer. Das ist deshalb gut, weil wenn du die 9 quadrierst, das Quadrat die 1 als Endziffer hat. Gehe nun also nochmal so vor, dass du den Exponenten halbierst und betrachte
[mm] $49^2\mod [/mm] 120$
das wäre zwar auszurechnen, ist aber gut im Kopf möglich, vorallem wenn man sich dem Trick mit der binomischen Formel bedient
[mm] $(50-1)^2$ [/mm] wäre dann zu berechnen und das ist einfach.
[mm] $(7)^{82}\mod [/mm] 1000$ geht dann genau so.
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