hohe Potenzen einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 26.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo..sitz hier grad vor unserem letzten Übungszettel in Algebra2 und komm bei einer Aufgabe nicht weiter.
Bsp.: Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 }
[/mm]
Berechnen Sie näherungsweise [mm] e^{A}
[/mm]
Wie gehe ich da vor da so etwas noch nicht im Skript vorgekommen ist...
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:45 So 26.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
> Hallo..sitz hier grad vor unserem letzten Übungszettel in
> Algebra2 und komm bei einer Aufgabe nicht weiter.
> Bsp.: Sei A = [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Berechnen Sie näherungsweise [mm]e^{A}[/mm]
>
> Wie gehe ich da vor da so etwas noch nicht im Skript
> vorgekommen ist...
Hallo!
Also, ich meine mich zu erinnern, dass [mm] e^{A} [/mm] bedeutet, dass jeder Eintrag der Matrix dann [mm] e^{der Eintrag} [/mm] ist. Aber wahrscheinlich musst du das irgendwie beweisen oder so...
Sorry, mehr weiß ich im Moment auch nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 So 26.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
für reelle Zahlen $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $e^x$ [/mm] ja definiert als:
[mm]e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
Ganz analog definiert man das für Matritzen:
[mm]e^A = \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} A^k[/mm]
Zur Berechnung ist es sicher sinnvoll, die Diagonaldarstellung (falls möglich) für $A$ zu finden. Was habt ihr denn in der Vorlesung gemacht, was man hier vielleicht ausnutzen kann?
Viele Grüße
Astrid
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Salut!
Für gewöhnlich sollte es in Lin.Alg. II noch über das Diagonalisieren funktionieren, à la:
A = [mm] S^{-1}*D*S
[/mm]
mit A nxn-Matrix, D Diagonalmatrix, S invertierbar (vgl. z. B. Jordanform).
Dann gilt [mm] e^{A} [/mm] = [mm] e^{S^{-1}*D*S} [/mm] = [mm] S^{-1}*e^{D}*S.
[/mm]
Tja, der Vorteil an diesem Ausdruck ist die Tatsache, dass bei einer Diagonalmatrix D wirklich gilt, dass zur Berechnung von [mm] e^{D} [/mm] auf der Hauptdiagonalen "nur" jeweils [mm] e^{Originaleintrag} [/mm] einzutragen ist.
Tja, und damit solltest du es näherungsweise berechnen können.
Au revoir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 26.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.....heißt es nciht für gewöhnlich
D = [mm] C^{-1} [/mm] . A . C ?
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Bonsoir!
Zunächst wäre es hilfreich, wenn du sagen würdest, was D, C und A für dich sind.
Ich nehme an, D ist die Diagonalmatrix, C die Transformationsmatrix (C [mm] \in GL_{n}(\IC) [/mm] und A die quadratische Originalmatrix, richtig?
Falls ja:
Die Aussagen A = [mm] S^{-1}*D*S [/mm] (bzw. mit deiner Nomenklatur wohl [mm] C^{-1}*D*C) [/mm] und D = [mm] C^{-1}*A*C [/mm] müssen sich in meinen Augen nicht widersprechen, sondern drücken vielmehr das selbe, nur unter unterschiedlichen Bezeichnungen von Originalmatrix und Inversem aus.
D = [mm] C^{-1}*A*C
[/mm]
=> C * D = E * A * C = A * C (mit E = Einheitsmatrix der Dimension n)
=> C * D * [mm] C^{-1} [/mm] = A * C * [mm] C^{-1} [/mm] = A * E = A
=> A = C * D * [mm] C^{-1}
[/mm]
Und A = C * D * [mm] C^{-1} [/mm] ist identisch mit A = [mm] S^{-1} [/mm] * D * S, für alle S = [mm] C^{-1}.
[/mm]
Oder?!
Au revoir!
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