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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:18 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Sei [mm] D\subset \IR^n [/mm] ein Gebiet, sei f [mm] \in C^m(D) (m\ge [/mm] 2), sei [mm] v\in \IR^n, [/mm] und sei c: [-1,1] [mm] \to [/mm] D glatt.
Zeigen Sie:
a) [mm] \partial_v^m [/mm] f(a) = [mm] {\bruch{d^m}{dt^m}|_{t=0} f(a+tv)}
[/mm]
b) [mm] \bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} f(c(t))={\partial_v^2 f(a)+\partial_w f(a)}
[/mm]
mit a=c(0), v=c'(0) und einem zu berechnenden Vektor [mm] w\in \IR^n. [/mm] |
Irgendwie bin ich mit der Aufgabe grade völlig überfordert.
Ich habe also eine Funktion f aus den Raum der stetig diffbaren funktionen, mit einem beliebigen Richtungsvektor. Jetz soll ich also zeigen zu jeder Richtungsableitung ist das gleiche wie die Abbildung einer linearen Funktion.
Irgendwie weiss ich noch nicht so recht, wo ich ansetzen soll.
Könnte mir vll jemand einen kleinen Ansatz geben ?
Wie genau ist überhaupt das c: [-1,1] $ [mm] \to [/mm] $ D glatt gemeint ?
mfg. Joker :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Fr 21.06.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]D\subset \IR^n[/mm] ein Gebiet, sei f [mm]\in C^m(D) (m\ge[/mm] 2),
> sei [mm]v\in \IR^n,[/mm] und sei c: [-1,1] [mm]\to[/mm] D glatt.
>
> Zeigen Sie:
>
> a) [mm]\partial_v^m f(a) = {\bruch{d^m}{dt^m}\Bigr|_{t=0} f(a+tv)}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{d^2}{dt^2}\Bigr|_{t=0} f(c(t))={\partial_v^2 f(a)+\partial_w f(a)}[/mm]
>
> mit a=c(0), v=c'(0) und einem zu berechnenden Vektor [mm]w\in \IR^n.[/mm]
>
> Irgendwie bin ich mit der Aufgabe grade völlig
> überfordert.
>
> Ich habe also eine Funktion f aus den Raum der stetig
> diffbaren funktionen, mit einem beliebigen Richtungsvektor.
> Jetz soll ich also zeigen zu jeder Richtungsableitung ist
> das gleiche wie die Abbildung einer linearen Funktion.
>
> Irgendwie weiss ich noch nicht so recht, wo ich ansetzen
> soll.
>
> Könnte mir vll jemand einen kleinen Ansatz geben ?
>
> Wie genau ist überhaupt das c: [-1,1] [mm]\to[/mm] D glatt gemeint
> ?
$c$ ist eine glatte Kurve in $D$, also stetig diff'bar mit nichtverschwindender Ableitung.
Zu Teil a): Wie ist denn die Richtungsableitung [mm]\partial_v f(a) [/mm] definiert?
Teil b) folgt aus der a) durch konsequente Anwendung der Kettenregel: Bilde die Ableitung
[mm]\bruch{d^2}{dt^2} f(c(t))[/mm]
und setze $t=0$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo!
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> > Sei [mm]D\subset \IR^n[/mm] ein Gebiet, sei f [mm]\in C^m(D) (m\ge[/mm] 2),
> > sei [mm]v\in \IR^n,[/mm] und sei c: [-1,1] [mm]\to[/mm] D glatt.
> >
> > Zeigen Sie:
> >
> > a) [mm]\partial_v^m f(a) = {\bruch{d^m}{dt^m}\Bigr|_{t=0} f(a+tv)}[/mm]
>
> >
> > b) [mm]\bruch{d^2}{dt^2}\Bigr|_{t=0} f(c(t))={\partial_v^2 f(a)+\partial_w f(a)}[/mm]
>
> >
> > mit a=c(0), v=c'(0) und einem zu berechnenden Vektor [mm]w\in \IR^n.[/mm]
>
> >
> > Irgendwie bin ich mit der Aufgabe grade völlig
> > überfordert.
> >
> > Ich habe also eine Funktion f aus den Raum der stetig
> > diffbaren funktionen, mit einem beliebigen Richtungsvektor.
> > Jetz soll ich also zeigen zu jeder Richtungsableitung ist
> > das gleiche wie die Abbildung einer linearen Funktion.
> >
> > Irgendwie weiss ich noch nicht so recht, wo ich ansetzen
> > soll.
> >
> > Könnte mir vll jemand einen kleinen Ansatz geben ?
> >
> > Wie genau ist überhaupt das c: [-1,1] [mm]\to[/mm] D glatt gemeint
> > ?
>
> [mm]c[/mm] ist eine glatte Kurve in [mm]D[/mm], also stetig diff'bar mit
> nichtverschwindender Ableitung.
>
> Zu Teil a): Wie ist denn die Richtungsableitung [mm]\partial_v f(a)[/mm]
> definiert?
Okay, also [mm] \partial_v [/mm] f(a) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+hv)-f(a)}{h}
[/mm]
Nach der totalen ableitung gilt:
f(a+hv)=f(a)+h [mm] Df(a)v+\psi(h) [/mm] mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \psi(h)/h=0
[/mm]
Also ist:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+hv)-f(a)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a)+h Df(a)v+\psi(h)-f(a)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h Df(a)v+\psi(h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h Df(a)v+\psi(h)}{h} [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h Df(a)v}{h} [/mm] + [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\psi(h)}{h} [/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h Df(a)v}{h}
[/mm]
= Df(a)v
Was mir ja jetzt noch nicht soviel bringt, vll auch garnichts aber das ist mir mal so dazu eingefallen.
Ich hab irgendwie noch probleme mit dem ausdruck:
[mm] ${\bruch{d^m}{dt^m}\Bigr|_{t=0} f(a+tv)} [/mm] $
Also das ist die Ableitung der Funktion f(a+tv) nach t. Undzwar die m-te ableitung. Jetzt weiss ich aber nicht sorecht, wie die einschränkung t=0 zu verstehen ist. Ist es so gemeint, dass t beim ableiten verschwindet ?
Mir ist noch nicht ganz klar geworden, wo ich überhaupt hin will.
mfg. Joker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 So 23.06.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Joker08,
>
> [mm]{\bruch{d^m}{dt^m}\Bigr|_{t=0} f(a+tv)}[/mm]
>
> Also das ist die Ableitung der Funktion f(a+tv) nach t.
> Undzwar die m-te ableitung. Jetzt weiss ich aber nicht
> sorecht, wie die einschränkung t=0 zu verstehen ist. Ist
> es so gemeint, dass t beim ableiten verschwindet ?
Nein. Sondern der Funktionswert der m-ten Ableitung an der Stelle t=0.
Gruß Wolfgang
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:30 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
Also ich habe das ganze jetzt mal per Induktion versucht.
Zu zeigen ist:
a) $ [mm] \partial_v^m [/mm] $ f(a) = $ [mm] {\bruch{d^m}{dt^m}|_{t=0} f(a+tv)} [/mm] $
Ich setze hier zunähst einmal [mm] $\widetilde [/mm] f(t):=f(a+tv)$ , dann ist [mm] $\partial_v f(a)=\widetilde [/mm] f'(0)$
Inuktionsanfang: m=2
[mm] $\partial_v^2f(a)$ [/mm]
$= [mm] \partial_v \partial_v [/mm] f(a)$
$= [mm] \partial_v \widetilde [/mm] f'(0)$
$= [mm] \widetilde [/mm] f''(0)$
$= [mm] \bruch{d^2}{dt^2}|{t=0} \widetilde [/mm] f(t)$
$= [mm] \bruch{d^2}{dt^2}|{t=0} [/mm] f(a+tv) $
Dann wäre der Induktionsschritt [mm] m\to [/mm] m+1
[mm] $\partial_v^{m+1}f(a)$
[/mm]
$= [mm] \widetilde f^{(m+1)}(0)$ [/mm]
$= [mm] (\widetilde f^{(m)}(0))'$ [/mm]
Nach IV
$= ( [mm] \bruch{d^m}{dt^m}|{t=0}\widetilde [/mm] f (t))'$
$= [mm] \bruch{d^{m+1}}{dt^{m+1}}|{t=0} \widetilde [/mm] f(t)$
Aber irgendwie zweifel ich noch selbst an meinen aufzeichnungen. Ich weiss nur leider irgendwie nicht mehr so recht weiter. Ich hab schon so gut wie alles ausprobiert, langsam gehen mir die ideen aus :|
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 26.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:45 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
Hier mal was zur b)
[mm] $\bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} f(c(t))={\partial_v^2 f(a)+\partial_w f(a)}$
[/mm]
Wenn ich die Kettenregel anwende erhalte ich:
[mm] \bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} [/mm] f(c(t)) = [mm] D(Df(c(0)))\cdot [/mm] c'(0) [mm] \cdot [/mm] c'(0) + Df(c(0)) [mm] \cdot [/mm] c''(0)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Nach Aufgabenteil a) erhlate ich für
[mm] \partial_v^2f(a)=\bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} [/mm] f(a+tv)
nun ist a:=c(0) und v:=c'(0), also:
[mm] \partial_v^2f(a)=\bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} [/mm] f(c(0)+tc'(0))
= [mm] \bruch{d^2}{dt^2}|_{t=0} [/mm] f(c(t))
= [mm] D(Df(c(0)))\cdot [/mm] c'(0) [mm] \cdot [/mm] c'(0) + Df(c(0)) [mm] \cdot [/mm] c''(0)
Dann wäre aber das ganze [mm] \partial_v^2, [/mm] sodass [mm] \partial_w [/mm] f(a)=0 gelten müsste ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 26.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 25.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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