hesse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bevor ich zum Punkt (0,0) komme - ich hab dieses Ergebnis nicht nachgerechet =D
Wenns aber nur darum geht den Punkt (0,0) auf min/max zu untersuchen, dann finde doch einfach 2 Punkte, jeweils >0 und <0...
>0 hsat du ja schon gefunden wenn ich richtig gelesen hab,
<0 ist einfach zu finden ...sagen wir mal (x,y)=(2,1), schon hast du was negatives...
Sorry wenn das deine Frage nicht beantwortet...hab dein Posting aus Zeitmangel nur überflogen :P
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Chrizzel17 |
Ich danke dir für deine schnelle Antwort :)
Wenn ich mich nicht täusche, dann reicht es nicht aus, dass ich lediglich x,y finde, für die f(x,y)>0 und f(x,y)<0 ist, denn:
ich soll ja nicht zeigen, dass (0,0) ein globales Max,Min ist, sondern soll nur testen ob es ein lokales Max oder Min ist. Das heißt es muss Max,Min für eine kleine Umgebung um (0,0) sein ...
Darum habe ich gedacht, ich könnte Funktionen bilden, die nur noch von einer Variablen abhängen und dann kann ich diese Variable einfach gegen 0 laufen lassen und gucken wie sich die Funktionswerte verhalten.
Ich habe das schonmal als Bsp in einem Buch gelesen.
Mein Problem ist nr, ich weiß nicht wie ich auf die Funktion komme die ich für x einsetze, oder ob die beliebig ist.
Gibt es sonst noch allgemeine Möglichkeiten wie ich Punkte auf Min,Max testen kann, wenn die Hesse semidefinit ist?
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Sofern nicht ein bestimmter Intervall für die max/min Suche angegeben ist, verstehe ich unter lokal eigentlich den kompletten "inneren" Bereich oder zumindest alles ohne Rand...^^
Denke da kann auch niemand widersprechen, sonst bin ich gespannt auf die Begründung =D
Aber ist ja auch egal, eine formale Herangehensweise ist immer besser, besonders wenn man einer Funktion gegenübersteht, für die nicht so einfach ein "Gegenbeispiel" zu finden ist - da geb ich dir Recht.
Also zum Thema:
Du kannst anhand der Hessematrix zeigen, dass die Funktion keine lokalen Extremstellen auf [mm] \IR^{2} [/mm] besitzen kann, indem du Richtungen
[mm] h_{+}, h_{-} \in \IR^{2} [/mm] findest, mit
[mm] h^{T}_{-}*H_{f}(0,0)*h_{-} [/mm] < 0
[mm] h_{+}^{T}*H_{f}(0,0)*h_{+} [/mm] > 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 30.09.2009 | | Autor: | awakening |
kannst du deine Hessematrix mal angeben?
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> Du kannst anhand der Hessematrix zeigen, dass die Funktion
> keine lokalen Extremstellen auf [mm]\IR^{2}[/mm] besitzen kann,
> indem du Richtungen
>
> [mm]h_{+}, h_{-} \in \IR^{2}[/mm] findest, mit
>
> [mm]h^{T}_{-}*H_{f}(0,0)*h_{-}[/mm] < 0
>
> [mm]h_{+}^{T}*H_{f}(0,0)*h_{+}[/mm] > 0
>
Ist das nicht die Definition von positiv/negativ definit?
als Hessematrix bekommen ich [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 20 }
[/mm]
diese ist positv semidefinit nach meinen Ergebnissen.
Nach deiner Rechenvorlage ergibt sich [mm] 20y^2 [/mm] für beliebige Richtungen h:=(x,y), also wieder positiv semidefinit, da alle ergebnisse [mm] \ge [/mm] 0 sind.
Und bei semidefinitheit kann man ja zunächst nichts sagen?!
Oder hilft mir deine Definition anders weiter?
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Ziel dieser Idee war zu zeigen, dass die Hessematrix indefinit ist.
Das würde nämlich direkt bedeuten, dass keine lokalen Extrema existieren.
Allerdings ist mir glaube ich ein kleiner Fehler unterlaufen - bin von einer konstanten Hessematrix (gleich für alle x,y) ausgegangen, da ich voreilig nur die 2-er Potenzen in der Funktion gesehen habe...
Wenn man die 2 Klammern ausmultipliziert entstehen ja aber höhere Potenzen, also wird die Hessematrix doch noch abhängig von x,y sein..
Konnte mich immernoch nicht durchringen die Hessematrix auszurechnen..^^ Diejenige die du angegeben hast ist H(0,0) nicht H(x,y) richtig?
indem fall muss man wohl eher
> $ [mm] h^{T}_{-}\cdot{}H_{f}(x,y)\cdot{}h_{-} [/mm] $ < 0
>
> $ [mm] h_{+}^{T}\cdot{}H_{f}(x,y)\cdot{}h_{+} [/mm] $ > 0
betrachten um zu zeigen, dass [mm] H_{f} [/mm] indefinit ist..
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.. aber das geht doch dann wieder in die richtung eines globalen extremwertes ?!
Es geht ja wirklich nur um die Gegend um (0,0)
Hesse lautet: [mm] \pmat{ -22y+12x^{2} & -22x \\ -22x & 20 }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mi 30.09.2009 | | Autor: | awakening |
Da man mir heute nicht mehr trauen kann, jetzt mal lieber als Mitteilung.
Wenn man eine semi definite Hessematrix hat, dann ist das Leben generell sehr schwierig.
Ansatz 1: einfach 2 Punkte angeben - daran ist sicherlich nichts auszusetzen, dass "lokal" nur eine sehr kleine Umgebung um (0,0) bezeichnet habe ich nochnie gehört.
Ansatz 2: Mit geeigneten Folgen arbeiten, also [mm] f(a_{n},b_{n}) [/mm] betrachten
(kommt deiner ursprünglichen Idee ja nahe..)
Ansatz 3: In eine allgemein Fallunterscheidung gehen. Bei dieser Funktion hat man ja zwei Faktoren, die beiden Klammern, man könnte Intervalle für x und y betrachten, für die die Faktoren die form - -, + -, + + annehmen...
Das ist alles was mir dazu einfällt, vllt meldet sich ja noch jmd der nicht so dämlich ist wie ich =D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Chrizzel17 |
Ich glaube auch fürmich wid es erstmal Zeit einen Mathestopp einzulegen :)
Ich danke dir sehr für deine Hilfe. Deine Ansätze werde ich morgen früh gleich mal ausprobieren :))
Also viiiielen Dank für deine Zeit und Bemühungen!!
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Hiho,
ja, sofern [mm] n\to [/mm] 0, aber dann musst du noch Begründen, warum (0,0) dann kein Extrema sein kann, wo wir wieder bei der Umgebungs-Definition von Extrema wären.
Ich würde einfach (wie in der anderen Antworte geschrieben) bei der Umgebungs-Definition von Extrema anfangen, mir eine BELIEBIGE Umgebung um (0,0) wählen und zeigen, dass da ein Punkt grösser f(0,0) drinliegt und ein Punkt kleiner f(0,0).
Das sind 2 Zeilen und du bist fertig 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Do 01.10.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho
> Ansatz 1: einfach 2 Punkte angeben - daran ist sicherlich
> nichts auszusetzen, dass "lokal" nur eine sehr kleine
> Umgebung um (0,0) bezeichnet habe ich nochnie gehört.
dann solltest du bitte keine Diskussionen führen über Extremwerte, denn genau das ist die Definition von "lokal"......
MFG,
Gono.
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Hiho,
ich glaube du schiesst mit Kanonen auf Spatzen 
Auch wenn awakening behauptet, er habe noch nie davon gehört, dass Umgebungen was mit "lokal" zu tun haben, ist das doch genau die Definition.
Ein Punkt [mm] x_0 [/mm] ist ein lokales Minimum zu einer Funktion $f(x)$ , wenn eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um diesen Punkt existiert, so dass für ALLE anderen Punkte x in dieser Umgebung gilt: $f(x) [mm] \ge f(x_0)$.
[/mm]
Wenn du also zeigen willst, dass ein Punkt KEIN lokales Minimum ist, musst du zeigen, dass in JEDER [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um diesen Punkt ein anderer existiert, so dass $f(x) < [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Bei deiner Funktion ist das auch kein Problem, da brauchst du keine komplizierten Folgen angeben.
Denn: Was ist denn f(0,0) bei dir? Was müsstest du also zeigen, wenn du zeigen willst, dass (0,0) kein lokales Minimum ist? Wieso ist das wirklich einfach zu zeigen, zu jeder [mm] \varepsilon-Umgebung?
[/mm]
MFG,
Gono.
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Vielen Dank für deine Antwort :)
Ich versuch jetzt einfach mal mein Glück...
> Denn: Was ist denn f(0,0) bei dir? Was müsstest du also
> zeigen, wenn du zeigen willst, dass (0,0) kein lokales
> Minimum ist? Wieso ist das wirklich einfach zu zeigen, zu
> jeder [mm]\varepsilon-Umgebung?[/mm]
also f(0,0)=0. Damit es kein lokales Minimum ist, muss es x,y [mm] \in [/mm] jeder [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von 0 geben mit f(x,y)<0 (reicht nicht eigentlich schon [mm] f(x,y)\le0? [/mm] Eine konstante Funktion hat ja auch kein Minimum).
Jetzt kann ich sagen dass f(x,y)<0 für alle x,y mit [mm] y
Lass ich jetzt y gegen 0 laufen, und suche mir ein x welches die obige Gleichung erfüllt, so finde ich immer x,y die beliebig nahe an 0 liegen, für die aber f(x,y)<0 ist.
Stimmt das? ....
Ist das mit den Folgenbilden eine Möglichkeit die ohne Einschränkung funktioniert? .. f(a,b)=c sei mein kritischer Punkt, Hesse pos. semidef. somt (a,b) eventuell Minimum. Reicht es dann aus Folgen [mm] A_n,B_n [/mm] zu finden mit
[mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}A_n=a,\limes_{n\rightarrow\infty}B_n=b) \le [/mm] c?
Vielen Dank und liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 01.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort :)
> Ich versuch jetzt einfach mal mein Glück...
>
> > Denn: Was ist denn f(0,0) bei dir? Was müsstest du also
> > zeigen, wenn du zeigen willst, dass (0,0) kein lokales
> > Minimum ist? Wieso ist das wirklich einfach zu zeigen, zu
> > jeder [mm]\varepsilon-Umgebung?[/mm]
>
> also f(0,0)=0. Damit es kein lokales Minimum ist, muss es
> x,y [mm]\in[/mm] jeder [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von 0 geben mit f(x,y)<0
> (reicht nicht eigentlich schon [mm]f(x,y)\le0?[/mm]
Nein. In jeder [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von (0 ,0) liegt (0,0) !!
> Eine konstante Funktion hat ja auch kein Minimum
Aber natürlich hat die ein Minimum, nämlich die Konstante
> Jetzt kann ich sagen dass f(x,y)<0 für alle x,y mit
> [mm]y
> Lass ich jetzt y gegen 0 laufen, und suche mir ein x
> welches die obige Gleichung erfüllt, so finde ich immer
> x,y die beliebig nahe an 0 liegen, für die aber f(x,y)<0
> ist.
> Stimmt das? ....
Warum so umständlich ? Sei t > 0 , setze x = [mm] \wurzel{t} [/mm] und y = t/2. Dann ist
$f(x,y) = [mm] -2t^2 [/mm] < 0$
FRED
>
> Ist das mit den Folgenbilden eine Möglichkeit die ohne
> Einschränkung funktioniert? .. f(a,b)=c sei mein
> kritischer Punkt, Hesse pos. semidef. somt (a,b) eventuell
> Minimum. Reicht es dann aus Folgen [mm]A_n,B_n[/mm] zu finden mit
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty}A_n=a,\limes_{n\rightarrow\infty}B_n=b) \le[/mm]
> c?
>
> Vielen Dank und liebe Grüße :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mi 30.09.2009 | | Autor: | awakening |
SORRY, gerade habe ich gemerkt, dass ich von anfang an totalen Bullshit geredet habe.
Aus irgendeinem Grund bin ich davon ausgegangen, dass es für die Hessematrix nicht klar ist, ob sie positiv oder negativ definit ist, also dass man garnichts über sie weiss.
Nur dann hatte die Vorgehensweise, die ich vorgeschlagen habe auch Sinn.
Dabei steht ja überall und du hast es auch tausendmal erwähnt, dass du pos. semi definitheit erhalten hast, ich scheine eindeutig gerade nicht ganz bei mir zu sein.
Sorry, dass ich deine Zeit gestohlen habe!!!
Ich schalte den PC für heute lieber ab...
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