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| Aufgabe | [mm] f=\sum a_{ij} x_{i} \overline{x_j}
[/mm]
[mm] g=\sum b_{ij} x_{i} \overline{x_j}
[/mm]
[mm] w=\sum a_{ij} b_{ij} x_{i} \overline{x_j}
[/mm]
i,j=1 ... n
Wenn f, g positiv definte hermitsche formen auf dem VR [mm] \IC^{n} [/mm] sind [mm] x=\vektor{x_1 \\ ... \\ x_n}\in \IC^{n} [/mm] , dann ist auch w positiv definit. |
Hallo,
für denn fall dass f,g den Rang eins besitzen, dann gilt dies offensichlich, dann handelt es sich ja nur um zahlen und das Produkt pos zahln ist positiv.
Für den rest...
Sei [mm] B_{f} [/mm] Orthonormalbasis zur Strukturmatrix von f [mm] (B_{g} [/mm] Orthonormalbasis von der strukturmatrix von g), deren Eigenwert jeweils rell sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] die matrizen F und G (bzgl der Basen [mm] B_{f} [/mm] bzw [mm] B_{g} [/mm] sind diagonalisierbar. (anwendung spektralsatz)
das produkt von 2 diagonalmatrizen ist ja wieder eine diagonalmatrix. wenn die beiden ersten diagonalmatrizen (hier F und G nur quardate/positive Werte auf der Hauptdiagonalen haben, dann sind auch nur positive zahlen auf der hauptdiagonalen der strukturmatrix W von w bzgl der ONB [mm] B_{w}
[/mm]
Kann man die aufgabe so beanworten?
lg weihnachtsman
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Hallo, mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei der obigen frage einpaar Sachen unklar formuliert habe. Ich habe das jetzt geändert.
Nun ist mir aber aufgefallen:
Ich bin gar nicht auf [mm] \IC [/mm] eingegangen. i*i=-1 hmmm, i ist ja positiv aber -1 ja nicht...
Stimmt dann überhaupt die aussage der aufgaben stellung?
Wenn aij=i und bij =i dann ist aij*bij=-1 (wenn wir uns z.B den Fall Rang f,g =1 vorstellen)
Oder versteckt sich in meinem kopf ein Denkfehler?
Lg
vom hilflosen weihnachtsman
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Di 03.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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