hermitsche form < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ja oder Nein:
1) Jede komplexe Matrix ist hermitsch
2) Jede reelle symmetrische Matrix ist hermitsch |
Hallo,
wir haben zu diesen MC´s einige Fragen.
Also wissen,dass Nr.2 richtig ist.
Eine hermitsche Matrix ist doch eine symmetrische Bilinearform für den kompelxen raum. stimmt das so? aber wie kann dann eine reelle ebenfalls hermitsche Matrix sein?kann man reelle matrizen als komplexe umschreiben?
und zur Nr1 würden wir einfach nur sagen, dass nicht jede komplexe matrix auch eine hermitsche matrix sein muss..
irgendwie fehlt uns hier das verständnis.....
hoffe, uns kann jmd helfen, auch wenn die fragen wahrscheinlich etwas blöde sind...
lg gp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
gucken wir uns doch erstmal an, wie "hermitesche Matrix" definiert ist.
So: A ist hermitesch <==> [mm] A=\overline{A^T}
[/mm]
In Worten: wenn man von jedem Eintrag der Matrix den konjugiert komplexen nimmt und die Matrix anschließend transponiert, muß die Matrix selbst herauskommen.
Konjugiert komplex? Das Konjugiert-komplexe von a+bi ist a-bi.
Vielleicht fällt es Euch jetzt schon etwas leichter, die Fragen zu beantworten. Ansonsten: nachfragen.
Zu 2. Bedenkt: [mm] \IR \subset \IC.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
damit die definition von hermitsche für die komlpexen matrizen stimmt. musst doch die matrix symmetrisch sein und darf auf der diagonalen nur reelle einträge haben,oder?
haben uns bei der nr,1 verschrieben. die frage war, ob jede komplexe diagonalmatrix hermitsche ist.
aber das müsste dann ja falsch sein. das transponierte einer diagonalmatrix ist ja die matrix selbst und dann komplex konjugiert ergibt doch eine andere.
oder?
wäre lieb,wenn du nochmal was dazu schreiben könntest.
lg gp
|
|
|
| |
|
> damit die definition von hermitsche für die komlpexen
> matrizen stimmt. musst doch die matrix symmetrisch sein und
> darf auf der diagonalen nur reelle einträge haben,oder?
Nicht ganz. Aber das mit den reellen Einträgen auf der Diagonalen stimmt schonmal.
Nun guck Dir mal diese Matrix an: [mm] \pmat{ 1 & 2+i \\ 2+i & 4 }.
[/mm]
Die hat auf der Diagonalen reelle Eintrage und ist symmetrisch. Aber hermitesch ist die nicht. Prüf's nach!
Aber auch eine hermitesche Matrix habe ich auf Lager: [mm] \pmat{ 1 & 2+i \\ 2-i & 4 }. [/mm] Nachprüfen!
Kannst Du jetzt sagen, wie die hermiteschen Matrizen aussehen?
>
> haben uns bei der nr,1 verschrieben. die frage war, ob jede
> komplexe diagonalmatrix hermitsche ist.
> aber das müsste dann ja falsch sein. das transponierte
> einer diagonalmatrix ist ja die matrix selbst und dann
> komplex konjugiert ergibt doch eine andere.
>
> oder?
Genau. Sobald auf der Diagonalen Elemente aus [mm] \IC [/mm] \ [mm] \IR [/mm] stehen, ist die Matrix nicht hermitesch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ach so,ja klar!
hatten das gerade auch an unserem beispiel festgestellt.
man braucht also quasi so eine art schiefsymmetrische matrix,wobei die elemente der diagonalenaber alles nur nicht komplex sein dürfen. das ist dann eine hermitsche form.
diesmal richtig verstanden?
|
|
|
|
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
-- du solltest das Wort ALLES noch streichen, denn es gibt noch ganz andere algebraische Strukturen, die auch nicht dort stehen dürfen. Sonst passt das aber ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
