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| Aufgabe | Sei im folgenden A eine hermitsche n [mm] \times [/mm] n Matrix
1. Sei Pa(X) das charakteristische Polynom von A. Zeigen Sie, dass Pa(X) [mm] \in \IR[X]
[/mm]
2. Sein nun Pa(X) = [mm] X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}. [/mm] Sei p die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge [mm] a_{0}, a_{1},...,a_{n-1}, [/mm] 1 und sei q die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge [mm] a_{0}, -a_{1}, a_{2},..., (-1)^{n-1}a_{n-1}, (-1)^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Signatur von A genau (p,q) ist. |
Hallo zusammen, wär cool wenn mir jemand bei diesen Aufgaben helfen könnte.
Zu 1. habe ich ein Lemma gefunden: Ist F selbstadjungiert, so sind alle Eigenwerte reel. Insbesondere hat eine hermitesche Matrix nur reelle Eigenwerte.
Beweis: Ist F(v) = [mm] \lambdav [/mm] mit vungleich 0 so folgt:
[mm] \lambda [/mm] <v,v>= ... = [mm] \lambda [/mm] konjugiert <v,v> also
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda [/mm] konjugiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mi 02.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Sei im folgenden A eine hermitsche n [mm]\times[/mm] n Matrix
>
> 1. Sei Pa(X) das charakteristische Polynom von A. Zeigen
> Sie, dass Pa(X) [mm]\in \IR[X][/mm]
>
> 2. Sein nun Pa(X) = [mm]X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{1}X+a_{0}.[/mm]
> Sei p die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge [mm]a_{0}, a_{1},...,a_{n-1},[/mm]
> 1 und sei q die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
> [mm]a_{0}, -a_{1}, a_{2},..., (-1)^{n-1}a_{n-1}, (-1)^{n}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Signatur von A genau (p,q) ist.
> Hallo zusammen, wär cool wenn mir jemand bei diesen
> Aufgaben helfen könnte.
> Zu 1. habe ich ein Lemma gefunden: Ist F selbstadjungiert,
> so sind alle Eigenwerte reel. Insbesondere hat eine
> hermitesche Matrix nur reelle Eigenwerte.
> Beweis: Ist F(v) = [mm]\lambdav[/mm] mit vungleich 0 so folgt:
> [mm]\lambda[/mm] <v,v>= ... = [mm]\lambda[/mm] konjugiert <v,v> also
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm] konjugiert
Genau. Und daraus folgt direkt 1. (weisst du warum?)...
Zu 2.: Es gibt da Aussagen ueber die Anzahl positiver Nullstellen von reellen Polynomen, die die Vorzeichenwechsel der Koeffizieten benutzen. Das angewandt auf das charakteristische Polynom liefert die Anzahl der positiven Eigenwerte. Und durch Einsetzen von $-x$ in das char. Poly. und Anwenden der gleichen Formel erhaelt man die Anzahl der negativen Eigenwerte. Das liefert dann die Signatur.
Leider faellt mir der Name dieser Formel grad nicht mehr ein... :-(
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 02.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Hallo Leute,
kann jemand mir sagen, wie ich hier beweisen soll, dass [mm] \lambda=
[/mm]
[mm] \overline{\lambda} [/mm] ist ?Ich hab schon bis hier
[mm] \lambda ==\overline{v^{T}}A \lambda v=(\overline{v^{T}}A \lambda v)^{T}=\overline{( \lambda v^{T} A^{T} \overline{v})}
[/mm]
weiß aber auch, dass ich irgendwo diese Eiganschaft von Eigenwerten benutzen [mm] muss:Av=\lambda [/mm] v, wenn v=0 ein Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] ist.
LG V.
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> Hallo Leute,
> kann jemand mir sagen, wie ich hier beweisen soll, dass
> [mm]\lambda=[/mm]
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] ist ?Ich hab schon bis hier
> [mm]\lambda ==\overline{v^{T}}A \lambda v=(\overline{v^{T}}A \lambda v)^{T}=\overline{( \lambda v^{T} A^{T} \overline{v})}[/mm]
>
> weiß aber auch, dass ich irgendwo diese Eiganschaft von
> Eigenwerten benutzen [mm]muss:Av=\lambda[/mm] v, wenn v=0 ein
> Eigenvektor zu [mm]\lambda[/mm] ist. ja, das musst du 
> LG V.
Hi v.,
der Anfang war ok, also
[mm] $\lambda\langle v,v\rangle=\langle v,\lambda v\rangle=\langle v,Av\rangle$ [/mm] denn $v$ ist Eigenvektor zu [mm] \lambda, [/mm] dh. [mm] $\lambda [/mm] v=Av$
[mm] $=^tv(\overline{Av})=^tv\overline{A}\overline{v}=^tv^tA\overline{v}$ [/mm] denn A ist hermitesch
[mm] $=^t(Av)\overline{v}=\langle Av,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\overline{\lambda}\langle v,v\rangle$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 02.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi Schachuzipus,
erstmal danke für deine Antwort.Aber ich verstehe nicht wieso du hier hast
> [mm]=^tv(\overline{Av})=^tv\overline{A}\overline{v}=^tv^tA\overline{v}[/mm]
> denn A ist hermitesch
Denn wir die Standard hermitsche Form in der Vorlesung anders definiert hatten, nämlich so: [mm] =\overline {v^{t} } [/mm] w und nicht wie bei dir [mm] =v^{t} \overline{w}, [/mm] macht es denn kein Unterschied?
Gruß V.
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Hi,
ok, dann gehts ja noch direkter
also [mm] $...=\langle v,Av\rangle =^t\overline{v}Av\underbrace{=}_{A hermitesch}$ $^t\overline{v}^t\overline{A}v=^t(\overline{Av})v=\langle Av,v\rangle [/mm] ....$
Dann kommt's mit deiner Def. hin, oder?
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
und danke nochmal.
könntest du vielleicht zu 2 auch etwas sagen.Kann mann diese Aufgaben außer mit der descartes'schen zeichenregel anders lösen?vielleicht mit etwas, was wir schon behandelt haben?
Gruß V.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | TottiIII |
> Hallo nochmal,
> und danke nochmal.
> könntest du vielleicht zu 2 auch etwas sagen.Kann mann
> diese Aufgaben außer mit der descartes'schen zeichenregel
> anders lösen?vielleicht mit etwas, was wir schon behandelt
> haben?
> Gruß V.
Wieso meinst du, dass wir die aufgabe nicht mit der Descartes'schen Zeichenregel lösen dürfen? Die steht im "Fischer" bei Ringe, Körper und Polynome. ich kann mich zwar auch nicht daran erinnern sie besprochen zu haben, aber es ist wohl besser die Aufgabe so, als nicht zu lösen. Vielleicht kommen andere ja so auch auf eine Idee für einen Beweis der mit unseren Mittel zu führen ist.
Also wär cool, wenn du deine Lösung mal schreiben könntest.
TottiIII
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Mi 02.05.2007 | | Autor: | verkackt |
Hi TottiIII
> Wieso meinst du, dass wir die aufgabe nicht mit der
> Descartes'schen Zeichenregel lösen dürfen?
Ich meinte nicht , dass wir es nicht tun dürfen, sondern würde ich persönlich bevorzogen die Aufgabe so zu lösen, wie wir es auch besprochen haben.Ich wüsste aber auch nicht wie es geht
Außerdemm weiß ich auch nicht wie wir es mit Hilfe von descartschen Regel machen können.Sollen wir etwa den Bewis von descartschen Regel einfach hinschreiben????
Könntest du vielleicht weiter helfen?
LG. V
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Do 03.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Wieso meinst du, dass wir die aufgabe nicht mit der
> > Descartes'schen Zeichenregel lösen dürfen?
>
> Ich meinte nicht , dass wir es nicht tun dürfen, sondern
> würde ich persönlich bevorzogen die Aufgabe so zu lösen,
> wie wir es auch besprochen haben.Ich wüsste aber auch nicht
> wie es geht
> Außerdemm weiß ich auch nicht wie wir es mit Hilfe von
> descartschen Regel machen können.Sollen wir etwa den Bewis
> von descartschen Regel einfach hinschreiben????
Ja, z.B., oder auf die Regel im Buch verweisen. Je nachdem was bei euch OK ist. (Wahrscheinlich ist hinschreiben das bessere :) )
Ausserdem: ich vermute, dass die Descartsche Zeichenregel aequivalent zur Aussage (b) der Aufgabe ist; zumindest fuer Polynome, die ueber [mm] $\IR$ [/mm] in Linearfaktoren zerfallen. Man nimmt einfach die Diagonalmatrix mit den Nullstellen des Polynoms auf der Diagonalen. Da die Nullstellen reell sind, folgt dann die Descartsche Zeichenregel...
Aber vielleicht ist der Beweis in diesem Fall auch etwas einfacher als im allgemeinen Fall? Ich kenn den Beweis leider nicht, deswegen kann ich nicht mehr dazu sagen.
LG Felix
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Hallo zusammen,
der Beweis zu Teil 1 erscheint mir jetzt schlüssig. Vielen dank dafür schon mal. Eine Frage habe ich aber noch.
wir haben nun gezeigt, dass [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{\lambda} [/mm] ist.
Warum aber ist es nicht möglich, dass v = 0 ist und [mm] \lambda [/mm] damit auch [mm] \in \IC [/mm] sein kann?
Zu 2. Hat da noch niemand etwas Weiteres gefunden? Hab bisher noch keinen Ansatz und hoffe daher auf Hilfe.
Vielen Dank trotzdem schon mal.
TottiIII
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Hallo Totti,
v ist Eigenvektor und damit [mm] \ne [/mm] 0.
Außerdem haben wir das Standardhermitesche SP verwendet, das positiv definit ist, also [mm] $\langle v,v\rangle [/mm] >0$
zu (2) ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") keine Idee
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 So 06.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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