herm. unitär orthog. schief.he < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 23.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal, unitär, hermitesch, schiefhermitesch oder normal?
$A = [mm] \frac{1}{5} \pmat{3&4\\4&3}$
[/mm]
$B = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1}$
[/mm]
$C = [mm] \frac{1}{2} \pmat{1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 1}$
[/mm]
$D = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{1&-i\\-i&1}$
[/mm]
$E = [mm] \frac{1}{2} \pmat{i&-1\\1&i}$
[/mm]
$F = [mm] \pmat{1&-3\\-3&2}$
[/mm]
$G = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}} \pmat{1 & 1-i \\ 1+i & 1}$
[/mm]
$H = [mm] \pmat{1&1\\1&-i}$
[/mm]
$I = [mm] \pmat{0 & 7 \\ -7 & 0}$ [/mm] |
Hallo.
Für die Aufgabe habe ich gleich mal alle Matrizen transponiert.
[mm] A=A^T, D=D^T [/mm] , F = [mm] F^T, [/mm] H = [mm] H^T, [/mm] damit weiß ich, dass die symmetrisch sind. Is hier aber net gefragt
[mm] B^T [/mm] = [mm] \pmat{1 & 1 \\ -1 & 1}
[/mm]
[mm] C^T [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \pmat{1& -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1}
[/mm]
[mm] E^T [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \pmat{i & 1 \\ -1 & i}
[/mm]
[mm] G^T [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}} \pmat{1&1+i \\ 1-i & 1}
[/mm]
[mm] I^T [/mm] = [mm] \pmat{0 & -7 \\ 7 &0}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, was ich testen muß
Hier meine Vorschläge
orthogonal - Spaltenvektor mal den zweiten Spaltenvektor muss null sein. Aber dann wäre B orthogonal weil [mm] \vektor{1\\1} [/mm] * [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] = 1*1+1*(-1) = 0
Laut Lösung ist aber nur C orthogonal.
unitär - [mm] A*A^{\*} [/mm] = I habe ich gefunden. Was ist denn [mm] A^{* }? A^T [/mm] oder nicht? Ich würde einfach immer [mm] A^T [/mm] für [mm] A^{\*} [/mm] nehmen egal ob reell oder complexe Matrix
hermitesch. Dazu habe ich das Kriterium A* = A = [mm] \overline{A}^T [/mm] recherchiert. Ich würde hier also auch nur gucken, ob [mm] A^T [/mm] = A ist. Is aber falsch, weil dann die hermiteschen Matrizen gleich den symmetrischen sind, und das ist ja nicht der FAll.
schiefhermitesch - da achte ich einfach nur auf die Hauptdiagonale, ob die gleich null ist. Laut unterlage muss stimmen [mm] A^T [/mm] = [mm] -\overline{A} \Rightarrow [/mm] Realteile der Hauptdiagonale = 0. Aber ich betrachte ja nur die Rückrichtung. Irgendwie fehlts mir an dem Verständnis was [mm] \overline{A} [/mm] und [mm] A^{\*} [/mm] ist. so auch wie bei
normal - soll gelten: [mm] AA^{\*} [/mm] = [mm] A^{\*} [/mm] A
Ist denn nicht immer [mm] A^{\*} [/mm] = [mm] A^T [/mm] ??
Gruß, Wehm
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> Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal, unitär,
> hermitesch, schiefhermitesch oder normal?
>
> [mm]A = \frac{1}{5} \pmat{3&4\\4&3}[/mm]
>
> [mm]B = \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> [mm]C = \frac{1}{2} \pmat{1 & \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 1}[/mm]
>
> [mm]D = \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{1&-i\\-i&1}[/mm]
>
> [mm]E = \frac{1}{2} \pmat{i&-1\\1&i}[/mm]
>
> [mm]F = \pmat{1&-3\\-3&2}[/mm]
>
> [mm]G = \frac{1}{\sqrt{3}} \pmat{1 & 1-i \\ 1+i & 1}[/mm]
>
> [mm]H = \pmat{1&1\\1&-i}[/mm]
>
> [mm]I = \pmat{0 & 7 \\ -7 & 0}[/mm]
Hallo,
bevor wir irgendetwas tun, klären wir, was mit [mm] A^{\*} [/mm] gemeint ist. Oft wird das z.B. auch als [mm] A^H [/mm] geschrieben.
Es ist die Matrix, die man erhält wenn man das konjugiert-Komplexe der inversen Matrix bildet, [mm] A^{\*}= \overline{A}^t= \overline{A^t}
[/mm]
Beispiel: [mm] X:=\pmat{ 1+i & 2 \\ 3-i & 4-2i } X^{\*}=\pmat{ 1-i & 3+i \\ 2& 4 +2i}.
[/mm]
orthogonal: [mm] A^{-1}=A^t [/mm] <==> [mm] A^{-1}*A^t=E [/mm] (Einheitsmatrix)
unitär: [mm] A^{-1}=A^{\*}
[/mm]
hermitesch: [mm] A=A^{\*} [/mm]
schiefhermitesch: [mm] A=-A^{\*}
[/mm]
normal: [mm] A^{\*}A=AA^{\*}
[/mm]
Ich meine, daß Du nun, nachdem Du weißt, was mit [mm] A^{\*} [/mm] gemeint ist, Deine Fragen selbst beantworten kannst.
Noch eine Bem. zur orthogonalen Matrix: zwar sind bei beiden von Dir genannten Matrizen die Spalten orthogonal. Sie sind aber nicht in beiden Fallen normiert, daher ist [mm] BB^t\not=E.
[/mm]
Gruß v. Angela
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